Cho tam giác ABC nhọn, vẽ đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F và E. CF cắt BE tại H

a, Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp

b, Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF, Tính số đo cung EHF, diện tích hình quạt IEHF của đường tròn (I) nếu góc BAC = ${60}^0$, AH = 4 cm

c, AH giao BC tại D. Chứng minh FH là tia phân giác của góc DFE

d, Chứng minh 2 tiếp tuyến của (O) tại E, F và AH đồng quy tại 1 điểm

a, Ta có:

b, 

c, Xét tam giác ABC có:

BE và CF là các đường cao

BE giao với CF tại H

=> H là trực tâm tam giác ABC

=>AH ⊥ BC hay ∠ADC = ∠ADB = ${90}^0$

Xét tứ giác BEFC có:

∠BFC = ∠BEC = ${90}^0$

=> 2 đỉnh E, F cùng nhìn cạnh BC dưới 1 góc bằng nhau

=> BEFC là tứ giác nội tiếp

=> ∠HFE = ∠BEC ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung EC) (1)

Xét tứ giác BFHD có:

∠BFH = ∠HDB = ${90}^0$

=>∠BFH + ∠HDB = ${180}^0$

=> Tứ giác BFHD là tứ giác nội tiếp ( tổng 2 góc đối bằng ${180}^0$)

=> ∠DFH = ∠BEC ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung HD) (2)

Từ (1) và (2) = > ∠HFE = ∠DFH

=> FH tia phân giác của góc ∠DFE

d, Tam giác OFB cân tại O => ∠OFB = ∠FBO

Tam giác BFC vuông tại F => ∠FBO + ∠HCD = ${90}^0$

=> ∠OFB + ∠HCD = ${90}^0$ (*)

ΔFIH cân tại I => $\widehat{IFH}=\widehat{IHF}$

$\widehat{IHF}=\widehat{DHC}$ (đối đỉnh)

ΔHDC vuông tại D => $\widehat{DHC}+\widehat{HDC}={90}^0$

=> $\widehat{IFH}+\widehat{HDC}={90}^0$ (**)

Từ (*) và (**) => ∠OFB = ∠IFH

=> ∠OFB + ∠OFH = ∠IFH + ∠OFH <=> ∠BFC = ∠FIO <=> ∠FIO) = ${90}^0$

Vậy FI là tiếp tuyến của (O)

Chứng minh tương tự EI là tiếp tuyến của (O)

Mà I là trung điểm của AH

=> Tiếp tuyến của (O) tại E và F và AH đồng quy tại 1 điểm