1. Tìm m để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung:

$2x^2-\left(3m+2\right)x+12=0$

$4x^2-\left(9m-2\right)x+36=0$

2. Tìm hệ số a, b của đường thẳng y = ax + b biết đường thẳng trên đi qua hai điểm là (1; –1) và (3; 5)

1.

a, Xét tứ giác BDHF có:

∠BDH = ${90}^0$ (AD là đường cao)

∠BFH = ${90}^0$ (CF là đường cao)

=>∠BDH + ∠BFH = ${180}^0$

=> Tứ giác BDHF là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BCEF có:

∠BFC = ${90}^0$ (CF là đường cao)

∠BEC = ${90}^0$ (BE là đường cao)

=> 2 đỉnh E và F cùng nhìn cạnh BC dưới 1 góc vuông

=> Tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp

b, Ta có:

∠KBA = ${90}^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=>KB⊥AB

Mà CH⊥AB (CH là đường cao)

=> KB // CH

Tương tự:

∠KCA) = ${90}^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=>KC⊥AC

BH⊥AC (BH là đường cao)

=> HB // CK

Xét tứ giác BKCF có:

KB // CH

HB // CK

=> Tứ giác BKCH là hình bình hành

=> Hai đường chéo BC và KH cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

=> HK đi qua trung điểm của BC

c, Gọi M là trung điểm của BC

Xét tam giác AHK có:

O là trung điểm của AK

M là trung điểm của BC

=> OM là đường trung bình của tam giác AHK

=> OM = 1/2AH (1)

ΔBOC cân tại O có OM là trung tuyến

=> OM là tia phân giác của ∠BOC

=> ∠MOC = ∠BAC = ${60}^0$ (= 1/2∠BOC )

Xét tam giác MOC vuông tại M có:

OM = OC.cos(MOC) = OC.cos${60}^0$ = 1/2.OC = 1/2.OA (2)

Từ (1) và (2) => OA = AH => ΔOAH cân tại A

2. Quay hình chữ nhật vòng quanh chiều dài được một hình trụ có bán kính đáy là R= 2 cm, chiều cao là h = 3 cm

Khi đó diện tích toàn phần của hình trụ là

$S_{tp}=2{\mathrm{\pi R}}^2+2\mathrm{\pi Rh}=2\mathrm{\pi }.2^2+2\mathrm{\pi }.2.3=20\mathrm{\pi }$$c{m}^2$

1.a, Khi m = –1, phương trình trở thành:

$x^2-2x-11=0$

Δ’ = 1 + 11 = 12 => $\sqrt{△\text{'}}=2\sqrt{3}$

Phương trình có nghiệm:

$x_1=1+2\sqrt{3}$

$x_2=1-2\sqrt{3}$

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là: S = $\left\{1+2\sqrt{3};1-2\sqrt{3}\right\}$

b, $x^2+\left(m-1\right)x+5m-6=0$

Ta có:

$△={\left(m-1\right)}^2-4\left(5m-6\right)$

= $m^2-2m+1-20m+24=m^2-22m+25$

Phương trình có hai nghiệm ⇔ Δ ≥ 0 ⇔ $m^2-22m+25\ge 0$ (*)

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=1-m\\ x_1{x}_2=5m-6\end{array}\right.$

Theo đề bài ta có:

4x₁ + 3x₂ =1 ⇔ x₁ + 3(x₁ + x₂ ) = 1

⇔ x₁ + 3(1 – m) = 1

⇔ x₁= 3m – 2

=> x₂ = 1 – m – x₁ = 1 – m – (3m – 2) = 3 – 4m

Do đó ta có:

Thay m = 0 vào (*) thấy thảo mãn

Thay m = 1 vào (*) thấy thảo mãn

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn bài toán là m = 0 và m = 1

2. Gọi số lượng xe được điều đến là x (xe) (x > 0; x ∈ N)

=> Khối lượng hàng mỗi xe chở là: $\frac{90}{x}$ (tấn)

Do có 2 xe nghỉ nên mỗi xe còn lại phải chở thêm 0,5 tấn so với dự định nên mỗi xe phải chở:

$\frac{90}{x}$ + 0,5 = $\frac{180+x}{2x}$ (tấn)

Khi đó ta có phương trình:

$\frac{180+x}{2x}$.$\left(x-2\right)$ = 90

$\left(180+x\right)\left(x-2\right)=180x$

$x^2-2x-360=0$

=> x = 20 hoặc x = –18

Vậy số xe được điều đến là 20 xe