1. Cho a, b là 2 số thực sao cho $a^3+b^3$ = 2. Chứng minh: 0 < a + b ≤ 2

2. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = $\frac{1}{16x}$ + $\frac{1}{4y}$ + $\frac{1}{z}$

1.

a, Xét tứ giác BDHF có:

∠BDH = ${90}^0$ (AD là đường cao)

∠BFH = ${90}^0$ (CF là đường cao)

=>∠BDH + ∠BFH = ${180}^0$

=> Tứ giác BDHF là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BCEF có:

∠BFC = ${90}^0$ (CF là đường cao)

∠BEC = ${90}^0$ (BE là đường cao)

=> 2 đỉnh E và F cùng nhìn cạnh BC dưới 1 góc vuông

=> Tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp

b, Ta có:

∠KBA = ${90}^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=>KB⊥AB

Mà CH⊥AB (CH là đường cao)

=> KB // CH

Tương tự:

∠KCA) = ${90}^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=>KC⊥AC

BH⊥AC (BH là đường cao)

=> HB // CK

Xét tứ giác BKCF có:

KB // CH

HB // CK

=> Tứ giác BKCH là hình bình hành

=> Hai đường chéo BC và KH cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

=> HK đi qua trung điểm của BC

c, Gọi M là trung điểm của BC

Xét tam giác AHK có:

O là trung điểm của AK

M là trung điểm của BC

=> OM là đường trung bình của tam giác AHK

=> OM = 1/2AH (1)

ΔBOC cân tại O có OM là trung tuyến

=> OM là tia phân giác của ∠BOC

=> ∠MOC = ∠BAC = ${60}^0$ (= 1/2∠BOC )

Xét tam giác MOC vuông tại M có:

OM = OC.cos(MOC) = OC.cos${60}^0$ = 1/2.OC = 1/2.OA (2)

Từ (1) và (2) => OA = AH => ΔOAH cân tại A

2. Quay hình chữ nhật vòng quanh chiều dài được một hình trụ có bán kính đáy là R= 2 cm, chiều cao là h = 3 cm

Khi đó diện tích toàn phần của hình trụ là

$S_{tp}=2{\mathrm{\pi R}}^2+2\mathrm{\pi Rh}=2\mathrm{\pi }.2^2+2\mathrm{\pi }.2.3=20\mathrm{\pi }$$c{m}^2$

1. Đặt $y=x^2$, khi đó ta có:

$\left\{\begin{array}{l}2y-\left(3m+2\right)x+12=0\\ 4y-\left(9m-2\right)x+36=0\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{l}2y=\left(3m+2\right)x-12\\ 2\left(3m+2\right)x-24-\left(9m-2\right)x+36=0(*)\end{array}\right.$

Giải (*):

(6 – 3m)x = –12

Phương trình (*) có nghiệm <=> 6 – 3m ≠ 0 <=> m ≠ 2

Khi đó, phương trình có nghiệm:

Theo cách đặt, ta có: $y=x^2$

Thay m = 3 vào 2 phương trình ban đầu,ta có:

Vậy khi m = 3 thì hai phương trình trên có nghiệm chung và nghiệm chung là 4

2. Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm (1; –1) và (3; 5) nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}-1=a+b\\ 3=3a+b\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-3\end{array}\right.\right.$

Vậy đường thẳng cần tìm là y = 2x – 3