1. Giải hệ phương trình

2. Cho phương trình $x^2+\left(m+2\right)x+2m=0$ (*)

a, Chứng minh phương trình (*) luôn có hai nghiệm x₁, x₂ với mọi m

b, Tìm biểu thức liên hệ giữa x₁, x₂ không phụ thuộc vào m

1.

M là giao điểm của 2 tiếp tuyến MC và MA

=> MO là đường trung trực của đoạn thẳng AC =>MO ⊥ AC

Xét tứ giác OBDE có:

∠OED = ${90}^0$ (MO ⊥ AC)

∠OBD = ${90}^0$ (BD là tiếp tuyến của (O))

=> ∠OED + ∠OBD = ${180}^0$

=> Tứ giác OBDE là tứ giác nội tiếp

2. Xét tam giác ABD vuông tại D có BC là đường cao

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông: AC.AD = AB² = (2R)² = 4R²

Vậy AC.AD = 4R²

3.

2 tiếp tuyến MC và Ma cắt nhau tại M

=> OM là tia phân giác của ∠COA => ∠COM = 1/2∠COA

2 tiếp tuyến CF và FB cắt nhau tại F

=> OF là tia phân giác của ∠COB => ∠COF = 1/2∠COB

Khi đó:

Tam giác MOF vuông tại O

=> Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MOF là trung điểm I của MF

Tam giác MIO cân tại I => ∠IOM = ∠IMO

Mặt khác ta có: ∠AMO = ∠IMO (do MO là tia phân giác ∠AMI )

=> ∠AMO = ∠IOM (1)

Tam giác MAO vuông tại A => ∠AMO + ∠AOM = ${90}^0$(2)

Từ (1) và (2) => ∠IOM + ∠AOM = ${90}^0$ ⇔ ∠AOI = ${90}^0$ hay AO ⊥ OI

=> AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MOF

ĐKXĐ: x ≥ 2

Đặt: 

Khi đó, phương trình đã cho trở thành:

Do a < 0 nên a = – 2

Với a = –2, ta có:

Vậy phương trình có nghiệm x = 2