Cho (P): y = x² và đường thẳng (d) y = 2(m + 1)x + 2m – 1

a, Khi m = 1, hãy vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ

b, Tìm m để x₁, x₂ thỏa mãn điều kiện sau: 

a, Ta có: ∠ABO = 90^o(Do BA là tiếp tuyến của (O)) nên B thuộc đường tròn đường kính OA

Tương tự ∠ACO = 90^onên C thuộc đường tròn đường kính OA

Do I là trung điểm của MN nên OI ⊥ MN

=> ∠AIO = 90^o => I thuộc đường tròn đường kính OA

Vậy 5 điểm O, A , B, C, I cùng thuộc đường tròn đường kính OA

b, Xét ΔABM và ΔANB có:

∠BAN là góc chung

∠ABM = ∠ANB (2 góc cùng chắn ⏜BM)

=> ΔABM ∼ ΔANB

=> $\frac{AB}{AN}$ = $\frac{AM}{AB}$ => AM.AN = AB²

Xét tam giác OAB vuông tại O có:

AB² = OA² – OB² = (3R)² – R² = 8R²

c, Gọi độ dài AM là x

=> AN = x + R$\sqrt{3}$

Theo câu b ta có:

AM.AN = 8R²

=> x(x + R$\sqrt{3}$) = 8R² ⇔ x² + xR$\sqrt{3}$ – 8R² = 0

Δ = (R$\sqrt{3}$)² – 4.( –8R² ) = 35R² => $\sqrt{△}=R\sqrt{35}$

Vậy 

=> AM.AN = AB²

d, Ta có:

AB = AC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

và OB = OC

=> OA là đường trung trực của BC

Do đó OA ⊥ BC tại H

Xét ΔOHK và Δ OIA có:

∠AOK là góc chung

∠OHK = ∠OIA = 90^o

=> ΔOHK ∼ ΔOIA

Mặt khác, xét tam giác ABO vuông tại B có BH là đường cao

=> OH.OA = OB² = R² (2)

Từ (1) và (2) => OK.OI = R² = OM²

=> $\frac{OM}{OK}$ = $\frac{OI}{OM}$

Xét tam giác OIM và tam giác OMK có:

∠MOK là góc chung

$\frac{OM}{OK}$ = $\frac{OI}{OM}$

=> ΔOIM ∼ ΔOMK (c.g.c)

=> ∠OIM = ∠OMK = 90^o Hay OM ⊥ MK

Vậy MK là tiếp tuyến của (O)

Chứng minh tương tự ta được NK là tiếp tuyến của (O).

a, 2x² – 3x – 5 = 0

Δ = 3² – 4 . 2.( –5) = 49 > 0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Vậy tập nghiệm của phương trình trên là S = {–1;5/2}

b, x⁴ – 5x² + 4 = 0

Đặt t = x² (t ≥ 0), khi đó phương trình trở thành:

t² – 5t + 4 = 0

Phương trình có dạng a + b +c = 1+ (–5) + 4 = 0 nên phương trình có 2 nghiệm t₁ = 1; t₂ = 4

Với t₁ = 1 thì x² = 1 ⇔ x = ± 1

Với t₁ = 4 thì x² = 4 ⇔ x = ± 2

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {1; –1; 2; –2 }

c,  ĐKXĐ: x ≠ ±y

Đặt hệ phương trình trở thành:

Khi đó:

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) =