Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình :

Sau khi xem bảng báo giá, mẹ của Hương đưa bạn 450 nghìn đồng nhờ bạn ra siêu thị mua một bàn ủi và một bộ lau nhà. Hôm nay đúng đợt khuyến mãi, bàn ủi được giảm 20%, bộ lau nhà được giảm 25% nên bạn Hương chỉ phải trả tổng cộng 350 nghìn đồng. Hỏi giá bán thực tế của bàn ủi và bộ lau nhà là bao nhiêu?

a, Ta có: ∠ABO = 90^o(Do BA là tiếp tuyến của (O)) nên B thuộc đường tròn đường kính OA

Tương tự ∠ACO = 90^onên C thuộc đường tròn đường kính OA

Do I là trung điểm của MN nên OI ⊥ MN

=> ∠AIO = 90^o => I thuộc đường tròn đường kính OA

Vậy 5 điểm O, A , B, C, I cùng thuộc đường tròn đường kính OA

b, Xét ΔABM và ΔANB có:

∠BAN là góc chung

∠ABM = ∠ANB (2 góc cùng chắn ⏜BM)

=> ΔABM ∼ ΔANB

=> $\frac{AB}{AN}$ = $\frac{AM}{AB}$ => AM.AN = AB²

Xét tam giác OAB vuông tại O có:

AB² = OA² – OB² = (3R)² – R² = 8R²

c, Gọi độ dài AM là x

=> AN = x + R$\sqrt{3}$

Theo câu b ta có:

AM.AN = 8R²

=> x(x + R$\sqrt{3}$) = 8R² ⇔ x² + xR$\sqrt{3}$ – 8R² = 0

Δ = (R$\sqrt{3}$)² – 4.( –8R² ) = 35R² => $\sqrt{△}=R\sqrt{35}$

Vậy 

=> AM.AN = AB²

d, Ta có:

AB = AC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

và OB = OC

=> OA là đường trung trực của BC

Do đó OA ⊥ BC tại H

Xét ΔOHK và Δ OIA có:

∠AOK là góc chung

∠OHK = ∠OIA = 90^o

=> ΔOHK ∼ ΔOIA

Mặt khác, xét tam giác ABO vuông tại B có BH là đường cao

=> OH.OA = OB² = R² (2)

Từ (1) và (2) => OK.OI = R² = OM²

=> $\frac{OM}{OK}$ = $\frac{OI}{OM}$

Xét tam giác OIM và tam giác OMK có:

∠MOK là góc chung

$\frac{OM}{OK}$ = $\frac{OI}{OM}$

=> ΔOIM ∼ ΔOMK (c.g.c)

=> ∠OIM = ∠OMK = 90^o Hay OM ⊥ MK

Vậy MK là tiếp tuyến của (O)

Chứng minh tương tự ta được NK là tiếp tuyến của (O).

a, 2x² – 3x – 5 = 0

Δ = 3² – 4 . 2.( –5) = 49 > 0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Vậy tập nghiệm của phương trình trên là S = {–1;5/2}

b, x⁴ – 5x² + 4 = 0

Đặt t = x² (t ≥ 0), khi đó phương trình trở thành:

t² – 5t + 4 = 0

Phương trình có dạng a + b +c = 1+ (–5) + 4 = 0 nên phương trình có 2 nghiệm t₁ = 1; t₂ = 4

Với t₁ = 1 thì x² = 1 ⇔ x = ± 1

Với t₁ = 4 thì x² = 4 ⇔ x = ± 2

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {1; –1; 2; –2 }

c,  ĐKXĐ: x ≠ ±y

Đặt hệ phương trình trở thành:

Khi đó:

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) =