Trên đoạn thẳng AB lấy một điểm M (MA > MB). Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ AB, vẽ tam giác đều AMC, BMD. Gọi E, F, I, K theo thứ tự là trung điểm của CM, CB, DM, DA. Chứng minh rằng EFIK là hình thang cân và $KF=\frac{1}{2}CD$.

Cho điểm M nằm bên trong tam giác đều ABC. Chứng minh rằng trong ba đoạn thẳng MA, MB, MC đoạn lớn nhất nhỏ hơn tổng hai đoạn kia.

Cho tam giác ABC có BC = a, các đường trung tuyến BD, CE. Lấy các điểm M, N trên cạnh BC sao cho BM=MN=NC. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của AN và CE. Tính độ dài IK.

Trong tứ giác ABCD, gọi A’, B’, C’, D’ thứ tự là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC. Chứng minh rằng AA', BB', CC', DD' bốn đường thẳng  đồng quy.

Cho tam giác ABC, trọng tâm G.

1. Vẽ đường thẳng d đi qua G, cắt các đoạn thẳng AB, AC. Gọi A’, B’, C’ là hình chiếu của A, B, C trên d. Tìm mối liên hệ giữa các độ dài AA’, BB’, CC’.

2. Nếu đường thẳng d nằm ngoài tam giác ABC và G’ là hình chiếu của G trên d thì các độ dài AA’, BB’, CC’, GG’ có liên hệ gì?

Tứ giác ABCD có B và C nằm trên đường tròn có đường kính là AD. Tính độ dài CD biết rằng AD=8, AB=BC=2.

Trên đoạn thẳng AB lấy các điểm M và N (M nằm giữa A và N). Vẽ về một phía của AB các tam giác đều AMD, MNE, BNF. Gọi G là trọng tâm của tam giác DEF. Chứng minh rằng khoảng cách từ G đến AB không phụ thuộc vào vị trí của điểm M, N trên đoạn AB.

Hình thang ABCD (AB//CD) có E là trung điểm của BC, $\widehat{AED}=90°$. Chứng minh rằng DE là tia phân giác của góc D.