Cho hình bình hành có bốn đỉnh nằm trên bốn cạnh của một tứ giác, trong đó hai đỉnh của hình bình hành là trung điểm hai cạnh đối của tứ giác. Chứng minh rằng diện tích hình bình hành bằng nửa diện tích tứ giác.

Tính diện tích tam giác, biết độ dài ba đường trung tuyến của nó bằng 15cm, 36cm, 39cm.

Tính số cạnh của một đa giác, biết rằng đa giác đó có:

1. Tổng các góc trong bằng tổng các góc ngoài (tại mỗi đỉnh của đa giác chỉ kể một góc ngoài)

2. Số đường chéo gấp đôi số cạnh

3. Tổng các góc trong trừ đi một góc của đa giác bằng $2570°$

Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, DE, AE; gọi I là trung điểm của NQ, K là trung điểm của MP. Chứng minh rằng IK//CD, $IK=\frac{1}{4}CD$.

Cho tam giác ABC có diện tích S. Các điểm D, E, F theo thứ tự nằm trên các cạnh AB, BC, CA sao cho $AD=DB, BE=\frac{1}{2}EC, CF=\frac{1}{3}FA$. Các đoạn thẳng AE, BF, CD cắt nhau tạo thành một tam giác. Tính diện tích tam giác đó.

Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a. Lấy điểm M trên cạnh AD, điểm N trên cạnh CD sao cho DM = CN. Tính diện tích hình thoi ABCD, biết rằng tam giác BMN đều.

Cho O là một điểm nằm trong tam giác ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là các hình chiếu của O trên BC, AC, AB. Trên các tia OD, OE, OF lấy lần lượt các điểm A’, B’, C’ sao cho OA’ = BC, OB’ = AC, OC’ = AB.

1. Chứng minh rằng diện tích tam giác A’B’C’ không phụ thuộc vào vị trí điểm O trong tam giác.

2. Điểm O có vị trí gì đối với tam giác A’B’C’?

Tam giác ABC vuông tại C có BC = a, AC = b, về phía ngoài tam giác ABC, vẽ tam giác DAB vuông cân tại D. Gọi H, K theo thứ tự là hình chiếu của D trên CB, CA. Tính diện tích của tứ giác DHCK.