Gọi a, b, c, d là độ dài bốn cạnh liên tiếp của một tứ giác có diện tích S. Chứng minh các bất đẳng thức sau và chỉ rõ khi nào xảy ra đẳng thức

1. $4S\le \left(a+c\right)\left(b+d\right)$

2. $16S\le {\left(a+b+c+d\right)}^2$

Tính diện tích tam giác, biết độ dài ba đường trung tuyến của nó bằng 15cm, 36cm, 39cm.

Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, DE, AE; gọi I là trung điểm của NQ, K là trung điểm của MP. Chứng minh rằng IK//CD, $IK=\frac{1}{4}CD$.

Tính số cạnh của một đa giác, biết rằng đa giác đó có:

1. Tổng các góc trong bằng tổng các góc ngoài (tại mỗi đỉnh của đa giác chỉ kể một góc ngoài)

2. Số đường chéo gấp đôi số cạnh

3. Tổng các góc trong trừ đi một góc của đa giác bằng $2570°$

Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E, F theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CA sao cho $AD=\frac{1}{3}AB, BE=\frac{1}{3}BC, CF=\frac{1}{3}CA$. Các đoạn thẳng AE, BF, CD cắt nhau tạo thành một tam giác. Chứng minh rằng diện tích tam giác này bằng $\frac{1}{7}$ diện tích tam giác ABC.

Cho tam giác ABC có diện tích S. Các điểm D, E, F theo thứ tự nằm trên các cạnh AB, BC, CA sao cho $AD=DB, BE=\frac{1}{2}EC, CF=\frac{1}{3}FA$. Các đoạn thẳng AE, BF, CD cắt nhau tạo thành một tam giác. Tính diện tích tam giác đó.

Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a. Lấy điểm M trên cạnh AD, điểm N trên cạnh CD sao cho DM = CN. Tính diện tích hình thoi ABCD, biết rằng tam giác BMN đều.

Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh bằng a, b, c, diện tích tam giác bằng S. Chứng minh rằng $6S\le a^2+b^2+c^2$