Chia mỗi cạnh của tứ giác thành ba phần bằng nhau rồi nối các điểm chia tương ứng trên các cạnh đối diện, ta được bốn đoạn thẳng (hai đoạn thẳng nối các điểm chia tương ứng trên một cặp cạnh đối thì không cắt nhau). Chứng minh rằng

1. Mỗi đoạn thẳng trong bốn đoạn thẳng ấy đều bị chia thành ba phần bằng nhau.

2. Diện tích tứ giác ở giữa bằng $\frac{1}{9}$ diện tích tứ giác ban đầu.

Cho hình thang ABCD (AB // CD), M là trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của BM và AC

1. Chứng minh IK // AB

2. Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự tại E, F. Chứng minh EI = IK = KF

Cho tứ giác ABCD. Đường thẳng đi qua A song song với BC cắt BD tại E. đường thẳng đi qua B song song với Ad cắt AC tại G.

1. Chứng minh EG // DC

2. Giả sử AB // CD. Chứng minh $A{B}^2=EG.DC$

Tứ giác ABCD có AC vuông góc và bằng BD. Các điểm E, F, G, H theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số 1 : 2. Chứng minh rằng EG = FH và EG vuông góc FH.

Cho tam giác ABC, điểm I thuộc cạnh AB, điểm K thuộc cạnh AC. Vẽ IM // BK (M thuộc AC), vẽ KN // CI (N thuộc AB). Chứng minh MN // BC

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Các điểm M, N thuộc cạnh AD, BC sao cho $\frac{AM}{MD}=\frac{CN}{NB}$. Gọi các giao điểm của MN với BD, AC theo thứ tự là E, F. Qua M kẻ đường thẳng song song AC cắt DC ở H.

1. Chứng minh rằng HN // BD

2. Gọi I là giao điểm của HO và MN. Chứng minh rằng IE = IF, ME = NF (O là giao điểm hai đường chéo AC và BD)

Cho tam giác ABC, có đường trung tuyến BD, CE. Gọi M là điểm bất kì thuộc cạnh BC. Vẽ MG song song BD (G thuộc AC), vẽ MH song song CE (H thuộc AB)

1. Chứng minh BD và CE chia HG thành ba phần bằng nhau.

2. Chứng minh OM đi qua trung điểm HG (O là trọng tâm tam giác ABC).

Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF. Gọi I, K, M, N theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến BA, BE, CF, CA. Chứng minh rằng bốn điểm I, K, M, N thẳng hàng.