Phân tích đa thức thành nhân tử: $3x^3-7x^2+17x-5$

Các số $\pm 1$, $\pm 5$ không là nghiệm của đa thức. Như vậy, đa thức không có nghiệm nguyên. Tuy vậy, đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ khác. Ta chứng minh được rằng trong đa thức có các hệ số nguyên, nghiệm hữu tỉ (nếu có) phải có dạng $\frac{p}{q}$ trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất (*)

Xét các số $\pm \frac{1}{3}, \pm \frac{5}{3}$ ta thấy $\frac{1}{3}$ là nghiệm của đa thức, do đó đa thức chứa thừa số 3x-1. Ta tách các hạng tử như sau:

$$\begin{gathered} 3x^3-7x^2+17x-5 \\ =3x^3-x^2-6x^2+2x+15x-5 \\ =x^2\left(3x-1\right)-2x\left(3x-1\right)+5\left(3x-1\right) \\ =\left(3x-l\right)\left(x^2-2x+5\right). \end{gathered}$$