Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n:

a) ${\left(x+1\right)}^{2n}–x^{2n}–2x–1$ chia hết cho $x\left(x+1\right)\left(2x+1\right)$

b) $x^{4n+2}+2x^{2n+1}+1$ chia hết cho ${\left(x+1\right)}^2$

c) ${\left(x+1\right)}^{4n+2}+{\left(x–1\right)}^{4n+2}$ chia hết cho $x^2+1$

Tìm đa thức f(x), biết rằng f(x) chia cho x-3 thì dư 7, f(x) chia cho x-2 thì dư 5, f(x) chia cho (x-2)(x-3) thì được thương là 3x và còn dư.

Tìm dư khi chia các đa thức sau

a) $x^{41}:\left(x^2+1\right)$

b) $x^{43}:\left(x^2+1\right).$

Chứng minh rằng:

a) $x^{50}+x^{10}+1$ chia hết cho $x^{20}+x^{10}+1$

b) $x^2-x^9-x^{1945}$ chia hết cho $x^2-x+1$

c) $x^{10}-10x+9$ chia hết cho ${\left(x-1\right)}^2$

d) $8x^9–9x^8+1$ chia hết cho ${\left(x-1\right)}^2$

Khi chia đơn thức $x^8$ cho $x+\frac{1}{2}$, ta được thương là B(x) và dư là số $r_1$. Khi chia B(x) cho $x+\frac{1}{2}$ ta được thương là C(x) và dư là số $r_2$. Tính $r_2$

Tìm đa thức f(x), biết rằng f(x) chia cho x-3 thì dư 2, f(x) chia cho x+4 thì dư 9, còn f(x) chia cho $x^2+x-12$ thì được thương $x^2+3$ và còn dư.

Cho đa thức f(x) có các hệ số nguyên. Biết rằng f(0), f(1) là các số lẻ. Chứng minh rằng đa thức f(x) không có nghiệm nguyên.