Cho đa thức f(x) có các hệ số nguyên. Biết rằng f(0), f(1) là các số lẻ. Chứng minh rằng đa thức f(x) không có nghiệm nguyên.

Tìm đa thức f(x), biết rằng f(x) chia cho x-3 thì dư 7, f(x) chia cho x-2 thì dư 5, f(x) chia cho (x-2)(x-3) thì được thương là 3x và còn dư.

Tìm dư khi chia các đa thức sau

a) $x^{41}:\left(x^2+1\right)$

b) $x^{43}:\left(x^2+1\right).$

Chứng minh rằng:

a) $x^{50}+x^{10}+1$ chia hết cho $x^{20}+x^{10}+1$

b) $x^2-x^9-x^{1945}$ chia hết cho $x^2-x+1$

c) $x^{10}-10x+9$ chia hết cho ${\left(x-1\right)}^2$

d) $8x^9–9x^8+1$ chia hết cho ${\left(x-1\right)}^2$

Khi chia đơn thức $x^8$ cho $x+\frac{1}{2}$, ta được thương là B(x) và dư là số $r_1$. Khi chia B(x) cho $x+\frac{1}{2}$ ta được thương là C(x) và dư là số $r_2$. Tính $r_2$

Tìm đa thức f(x), biết rằng f(x) chia cho x-3 thì dư 2, f(x) chia cho x+4 thì dư 9, còn f(x) chia cho $x^2+x-12$ thì được thương $x^2+3$ và còn dư.

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n:

a) ${\left(x+1\right)}^{2n}–x^{2n}–2x–1$ chia hết cho $x\left(x+1\right)\left(2x+1\right)$

b) $x^{4n+2}+2x^{2n+1}+1$ chia hết cho ${\left(x+1\right)}^2$

c) ${\left(x+1\right)}^{4n+2}+{\left(x–1\right)}^{4n+2}$ chia hết cho $x^2+1$