Cho parabol $\left(P\right):y=x^2+1$ và đường thẳng $\left(d\right): y = mx + 2.$ Biết rằng tồn tại m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và (d)  đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện tích nhỏ nhất đó

Cho hàm số f(x) có đồ thị trên đoạn [−3;3] là đường gấp khúc ABCD như hình vẽ

Tính ${\int }_{-3}^{3}f\left(x\right)dx$

Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40cm. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm của viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu sẫm như hình vẽ bên). Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng

Trong Công viên Toán học có những mảnh đất hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp nhất trong toán học. Ở đó có mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemniscate có phương trình trong hệ tọa độ Oxy là $16y^2=x^2(25-x^2)$ như hình vẽ bên. Tính diện tích S của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ trục tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài 1 mét.

Tính thể tích hình xuyến do quay hình tròn có phương trình $x^2+(y-2{)}^2=1$ khi quanh trục Ox

Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh $A_1 , A_2 , B_1, B_2$ như  hình vẽ bên. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là $200.000đồng/m^2$ và phần còn lại là $100.000đồng/m^2$. Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây, biết $A_1{A}_2 = 8m, B_1{B}_2 = 6m$ và tứ giác MNPQ là hình chữ nhật có MQ = 3m?

Trong mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $4y=x^2$ và y = x. Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục hoành một vòng bằng:

Gọi $\left(D_1\right)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=2\sqrt{x}, y=0, x=2020$, $\left(D_2\right)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{3}x, y=0, x=2020$. Gọi $V_1, V_2$ lần lượt là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left(D_1\right)$ và $\left(D_2\right)$ xung quanh trục Ox. Tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$ bằng: