Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] và $f\left(0\right)+f\left(1\right)=0$. Biết $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx=\frac{1}{2},\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\text{'}\left(x\right)\cos \pi xdx=\frac{\pi }{2}$. Tính $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx$

Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho parabol $\left(P\right) :y=x^2$ và hai đường thẳng y=a, y=b (0<a<b) (hình vẽ). Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng y = a (phần tô đen); $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P), đường thẳng y = a và đường thẳng y = b (phần gạch chéo). Với điều  kiện nào sau đây của a và b thì $S_1 = S_2$:

Đặt S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=4-x^2$, trục hoành và đường thẳng x=-2, x=m, (-2<m<2). Tìm số giá trị của tham số m để $S=\frac{25}{3}$

Biết rằng $I=\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{{\ln }^{2}x+\ln x}{{\left(\ln x+x+1\right)}^3}dx=\frac{a{e}^2+be-12}{8{\left(e+2\right)}^2}$ với a, b là các số nguyên dương. Hiệu b – a bằng

Một ô tô chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v(t)=7t (m/s). Đi được 5s người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc $a=-35(m/s^2)$. Tính quãng đường của ô tô đi được lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn?

Một cổng chào có dạng hình parabol chiều cao 18m, chiều rộng chân đế 12m. Người ta căng sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi parabol thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số $\frac{AB}{CD}$ bằng

Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm. Người thết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm của viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu sẫm như hình vẽ bên). Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [1;2] thỏa mãn f(1)=4 và $f\left(x\right)=xf\text{'}\left(x\right)-2x^3-3x^2$. Tính giá trị f(2)