Có bao nhiêu số nguyên dương a (a là tham số) để phương trình $\left(3a^2+12a+15\right){\log }_{27}\left(2x-x^2\right)+\left(\frac{9}{2}{a}^2-3a+1\right){\log }_{\sqrt{11}}\left(1-\frac{x^2}{2}\right)=2{\log }_9\left(2x-x^2\right)+{\log }_{11}\left(\frac{2-x^2}{2}\right)$ có nghiệm duy nhất?

Biết rằng $2^{x+\frac{1}{x}}={\log }_2\left[14-\left(y-2\right)\sqrt{y+1}\right]$ trong đó x > 0. Tính giá trị của biểu thức $P=x^2+y^2-xy+1$

Tìm m để tồn tại duy nhất cặp (x;y) thỏa mãn ${\log }_{x^2+y^2+2}\left(4x+4y-4\right)\ge 1$ và $x^2+y^2+2x-2y+2-m=0$

Xét các số thực a, b thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{3}<b<a<1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={\log }_a\left(\frac{3b-1}{4}\right)+12{\log }_{\frac{b}{a}}^{2}a-3$

Cho x, y là các số thực thỏa mãn ${\log }_{3x+y}\left(x^2+y^2\right)\le 1$. Khi 3x + y đạt giá trị lớn nhất, thì giá trị $k=\frac{x}{y}$ là:

Giá trị nào của m để phương trình ${\log }_3^{2}x+\sqrt{{\log }_3^{2}x+1}-2m-1=0$ có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn $\left[1;3^{\sqrt{3}}\right]$

Xét bất phương trình ${\log }_2^{2}2x-2\left(m+1\right){\log }_{2}x-2<0$. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng $\left(\sqrt{2};+\infty \right)$

Biết $x_1,x_2$ là hai nghiệm phương trình ${\log }_7\left(\frac{4x^2-4x+1}{2x}\right)+4x^2+1=6x$ và $x_1+2x_2=\frac{1}{4}\left(a+\sqrt{b}\right)$ với a, b là hai số nguyên dương. Tính a + b