Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left(\alpha \right):2x+y-2z-2=0$, đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+3}{2}$ và điểm $A\left(\frac{1}{2};1;1\right)$. Gọi $∆$ là đường thẳng nằm trong mặt phẳng $\left(\alpha \right)$, song song với d đồng thời cách d một khoảng bằng 3. Đường thẳng $∆$ cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tang của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC) và (SBC) bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;3). Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C $\left(A,B,C\ne 0\right)$ sao cho thể tích của tứ diện OABC nhỏ nhất. Phương trình của mặt phẳng (P) là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $A\left(-3;0;0\right),B\left(0;0;3\right),C\left(0;-3;0\right)$ và mặt phẳng $\left(P\right):x+y+z-3=0$. Tìm trên (P) điểm M sao cho $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|$ nhỏ nhất

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): $x^2+y^2+z^2-2x-4y+6z-13=0$ và đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-1}{1}$. Tọa độ điểm M trên đường thẳng d sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu (S) (A, B, C là các tiếp điểm) thỏa mãn $\widehat{AMB}=60°,\widehat{BMC}=90°;\widehat{CMA}=120°$ có dạng M(a;b;c) với a < 0. Tổng $a+b+c$ bằng:

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành, AB = 2a, BC = a, ABC = 1200. Cạnh bên $SD=a\sqrt{3}$ và SD vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính sin của góc tạo bởi SB và mặt phẳng (SAC)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB và M, N lần lượt là trung điểm của SC, SD. Tính cô sin của góc giữa hai mặt phẳng (GMN) và (ABCD)

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(10;6;-2), B(5;10;-9) và mặt phẳng $\left(\alpha \right):2x+2y+z-12=0$. Điểm M di động trên mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ sao cho MA, MB luôn tạo với $\left(\alpha \right)$ các góc bằng nhau. Biết rằng M luôn thuộc một đường tròn $\left(\omega \right)$ cố định. Hoành độ của tâm đường tròn $\left(\omega \right)$ bằng: