Một khối cầu có bán kính là 5 (dm), người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng 3 (dm) để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ). Thể tích chiếc lu bằng

Đáp án D.

Cách 1. Trên hệ trục tọa độ , xét đường tròn $\left(C\right):{\left(x-5\right)}^2+y^2=25$.

Ta có ${\left(x-5\right)}^2+y^2=25\iff y=\pm \sqrt{25-{\left(x-5\right)}^2}=\pm \sqrt{10x-x^2}$

$\Rightarrow$ Nửa trên trục Ox của (C) có phương trình $y=\sqrt{10x-x^2}$

Nếu cho nửa trên trục Ox của (C) quay quanh trục Ox ta được mặt cầu bán kính bằng 5.

Nếu cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{10x-x^2}$, trục Ox, hai đường thẳng $x=0;x=2$ quay quanh trục Ox ta sẽ được khối tròn xoay chính là phần cắt đi của khối cầu trong đề bài.

$\Rightarrow$ Thể tích vật thể tròn xoay khi cho (H) quay quanh Ox là

$V_1=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(10x-x^2\right)dx=\pi {\left(5x^2-\frac{x^3}{3}\right)}_0^2=\frac{52\pi }{3}$

Thể tích khối cầu là $V_2=\frac{4}{3}\pi {.5}^3=\frac{500\pi }{3}$

Thể tích chiếc lu là $V=V_2-2V_1=\frac{500\pi }{3}-2.\frac{52\pi }{3}=132\pi \left(d{m}^3\right)$.

Cách 2. Hai phần cắt đi có thể tích bằng nhau, mỗi phần là một chỏm cầu có thể tích $V_1=\pi h^2\left(R-\frac{h}{3}\right)=\frac{52\pi }{3}$ với $R=5dm,h=2dm$.

Thể tích khối cầu là $V_2=\frac{4}{3}\pi {.5}^3=\frac{500\pi }{3}$.

Vậy thể tích của chếc lu là $V=V_2-2V_1=132\pi$.