Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm f'(x) liên tục [-3; 3]. Hình bên là đồ thị của hàm số y=f'(x). Biết f(1)=6 và $f\text{'}\left(0\right)=3;f\text{'}(-2)=3,g\left(x\right)=f\left(x\right)-\frac{{\left(x+1\right)}^2}{2}.$ Khẳng định nào sau đây là đúng?

Đáp án B

Từ giả thiết $f\left(1\right)=6\to g\left(1\right)=4.$

Ta có $g\text{'}\left(x\right)=f\text{'}\left(x\right)-(x+1);g\text{'}\left(x\right)=0\iff f\text{'}\left(x\right)=x+1$

Ta thấy đường thẳng y=x+1 cắt đồ thị hàm số y=f'(x) tại các điểm có hoành độ -3; 1; 3.

Dựa vào đồ thị, ta có

Vì $f\text{'}\left(0\right)=3;f\text{'}(-2)=3$ nên $\underset{-3}{\overset{1}{\int }}\left[f\text{'}\left(x\right)-(x+1)\right]dx>4\iff \underset{-3}{\overset{1}{\int }}g\text{'}\left(x\right)dx>4\iff g\left(1\right)-g(-3)>4\to g(-3)<0$

Vì vế trái chính là diện tích một hình phẳng mà hình phẳng này chứa một hình vuông có diện tích bằng 4 với độ dài 2 cạnh là 2. $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left[(x+1)-f\text{'}\left(x\right)\right]dx<4\iff -\underset{1}{\overset{3}{\int }}g\text{'}\left(x\right)dx<4\iff -\left[g\left(3\right)-g\left(1\right)\right]<4\to g\left(3\right)>0$

Vì $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left[(x+1)-f\text{'}\left(x\right)\right]dx<4$ chính là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y=f\text{'}\left(x\right);y=(x+1)$; mà hình phẳng này nằm trong một hình thang có diện tích bằng 4 với các thông tin về cạnh hình thang là: đáy lớn bằng 3, đáy nhỏ bằng 1, chiều cao bằng 2. Từ bảng biến thiên suy ra phương trình g(x) = 0 có đúng một nghiệm thuộc [-3; 3].