Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm $A\left(2;3;1\right),B\left(-1;2;0\right),C\left(1;1;-2\right).$ Gọi I(a;b;c) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính giá trị biểu thức $P=15a+30b+75c$.

Chọn B.

Ta có $\left.\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}=\left(-3;-1;-1\right)\\ \overrightarrow{AC}=\left(-1;-2;-3\right)\end{array}\right\}\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]=\left(1;-8;5\right).$

Phương trình (ABC) đi qua B và có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ là: $1.\left(x+1\right)-8.\left(y-2\right)+5.\left(z-0\right)=0\iff x-8y+5z=-17\left(1\right).$

Gọi M là trung điểm của AB thì $M\left(\frac{1}{2};\frac{5}{2};\frac{1}{2}\right).$ Khi đó mặt phẳng trung trực của AB đi qua M và nhận $\overrightarrow{BA}=\left(3;1;1\right)$ làm véc tơ pháp tuyến có phương trình: $3.\left(x-\frac{1}{2}\right)+1.\left(y-\frac{5}{2}\right)+1.\left(z-\frac{1}{2}\right)=0\iff 3x+y+z=\frac{9}{2}\left(2\right).$

Gọi N là trung điểm của AC thì $N\left(\frac{3}{2};2;\frac{-1}{2}\right).$ Khi đó mặt phẳng trung trực của AC đi qua N và nhận $\overrightarrow{CA}=\left(1;2;3\right)$ làm véc tơ pháp tuyến có phương trình: $1.\left(x-\frac{3}{2}\right)+2.\left(y-2\right)+3.\left(z+\frac{1}{2}\right)=0\iff x+2y+3z=4\left(3\right).$

Vì I(a;b;c) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên I thuộc giao tuyến hai mặt phẳng trung trực của AB và AC đồng thời $I\in \left(ABC\right).$ Từ (1);(2);(3) ta có tọa độ của I thỏa mãn hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}a-8b+5c=-17\\ 3a+b+c=\frac{9}{2}\\ a+2b+3c=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{14}{15}\\ b=\frac{61}{30}\\ c=\frac{-1}{3}\end{array}\right..$

Do đó $P=15.\frac{14}{15}+30.\frac{61}{30}+75.\left(\frac{-1}{3}\right)=50.$