Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 5sin2x+5cos2x=25 trên đoạn 0; 2π. A. T=2π B. T=3π4 C. T=π D. T=4π

Đáp án D- Sử dụng công thức sin2x+cos2x=1.- Đặt ẩn phụ t=5sin2x t≥1, đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn t.- Giải phương trình tìm t.- Sử dụng công thức hạ bậc: sin2x=1-cos2x2, sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản tìm x: cosx=cosα⇔x=±α+k2π k∈Z.- Giải bất phương trình 0≤x≤2π và tìm các nghiệm thỏa mãnTa có:5sin2x+5cos2x=25⇔5sin2x+51-sin2x=25⇔5sin2x+55sin2x=25Đặt t=5sin2x t≥1, phương trình trở thànht+5t=25⇔t2-25t+5=0⇔t-52=0⇔t=5 tm⇒5sin2x=5=512⇔sin2x=12⇔1-cos2x2=12⇔cos2x=0⇔2x=π2+kπ⇔x=π4+kπ2 k∈ZXét x∈0;2π ta có 0≤π4+kπ2≤2π⇔-12≤k≤72. Mà k∈Z⇒k∈0;1;2;3.⇒x=π4;3π4;5π4;7π4Vậy tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn 0; 2π là T=π4+3π4+5π4+7π4=4π

Câu hỏi:

30/08/2021 372

Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình $5^{\sin^{2} x} + 5^{\cos^{2} x} = 2 \sqrt{5}$ trên đoạn $[0; 2 π] .$

A. $T = 2 π$

B. $T = \frac{3 π}{4}$

C. $T = π$

D. $T = 4 π$

Đáp án chính xác

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: [Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (30 đề) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án D

- Sử dụng công thức $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ .

- Đặt ẩn phụ $t = 5^{\sin^{2} x} (t \geq 1)$ , đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn t.

- Giải phương trình tìm t.

- Sử dụng công thức hạ bậc: $\sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2 x}{2}$ , sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản tìm x: $\cos x = \cos α \Leftrightarrow x = \pm α + k 2 π (k \in Z)$ .

- Giải bất phương trình $0 \leq x \leq 2 π$ và tìm các nghiệm thỏa mãn

Ta có:

$5^{\sin^{2} x} + 5^{\cos^{2} x} = 2 \sqrt{5} \Leftrightarrow 5^{\sin^{2} x} + 5^{1 - \sin^{2} x} = 2 \sqrt{5} \Leftrightarrow 5^{\sin^{2} x} + \frac{5}{5^{\sin^{2} x}} = 2 \sqrt{5}$

Đặt $t = 5^{\sin^{2} x} (t \geq 1)$ , phương trình trở thành

$t + \frac{5}{t} = 2 \sqrt{5} \Leftrightarrow t^{2} - 2 \sqrt{5} t + 5 = 0 \Leftrightarrow {(t - \sqrt{5})}^{2} = 0 \Leftrightarrow t = \sqrt{5} (t m) \Rightarrow 5^{\sin^{2} x} = \sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}} \Leftrightarrow \sin^{2} x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{1 - \cos 2 x}{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos 2 x = 0 \Leftrightarrow 2 x = \frac{π}{2} + k π \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$

Xét $x \in [0; 2 π]$ ta có $0 \leq \frac{π}{4} + \frac{k π}{2} \leq 2 π \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \leq k \leq \frac{7}{2}$ . Mà $k \in Z \Rightarrow k \in \{0; 1; 2; 3\}$ .

$\Rightarrow x = \{\frac{π}{4}; \frac{3 π}{4}; \frac{5 π}{4}; \frac{7 π}{4}\}$

Vậy tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn $[0; 2 π]$ là $T = \frac{π}{4} + \frac{3 π}{4} + \frac{5 π}{4} + \frac{7 π}{4} = 4 π$

Bình luận

Câu 1:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Biết hàm số y=f'(x) có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên $m \in [- 2021; 2021]$ để hàm số $g (x) = f (x + m)$ nghịch biến trên khoảng (1;2). Hỏi S có bao nhiêu phần tử?

A. 2019

B. 2022

C. 2021

D. 2020

Xem đáp án » 30/08/2021 38,235

Câu 2:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có tâm O. Gọi I là tâm hình vuông A'B'C'D' và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO=2MI. Khi đó côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC'D') và (MAB) bằng

A. $\frac{6 \sqrt{85}}{85}$

B. $\frac{6 \sqrt{13}}{65}$

C. $\frac{7 \sqrt{85}}{85}$

D. $\frac{17 \sqrt{13}}{65}$

Xem đáp án » 30/08/2021 16,981

Câu 3:

Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = n^{2} + n + 1$ với $n \in N^{*}$ . Số 21 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số đã cho?

A. 5

B. 4

C. 6

D. 3

Xem đáp án » 29/08/2021 10,316

Câu 4:

Cho dãy số $(u_{n})$ là cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1} = 1$ , công bội q=2. Tổng ba số hạng đầu của cấp số nhân là

A. 9

B. 3

C. 5

D. 7

Xem đáp án » 29/08/2021 9,982

Câu 5:

Trên giá sách có 6 quyển sách Toán khác nhau, 7 quyển sách Văn khác nhau và 8 quyển sách Tiếng Anh khác nhau. Có bao nhiêu cách lấy 2 quyển sách thuộc 2 môn khác nhau?

A. 27

B. 56

C. 86

D. 146

Xem đáp án » 30/08/2021 8,879

Câu 6:

Cho giới hạn $\lim_{x \to - 4} \frac{x^{2} + 3 x - 4}{x^{2} + 4 x} = \frac{a}{b}$ , với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức $a^{2} - b^{2}$

A. 9

B. -9

C. 14

D. 41

Xem đáp án » 30/08/2021 8,008

Câu 7:

Đạo hàm của hàm số $y = \frac{\ln (x^{2} + 1)}{x}$ tại điểm x=1 là $y' (1) = a \ln 2 + b (a; b \in Z)$ . Tính a-b

A. -2

B. 1

C. -1

D. 2

Xem đáp án » 29/08/2021 7,193

Xem thêm các câu hỏi khác »

Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình $5^{\sin^{2} x} + 5^{\cos^{2} x} = 2 \sqrt{5}$ trên đoạn $[0; 2 π] .$

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có tâm O. Gọi I là tâm hình vuông A'B'C'D' và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO=2MI. Khi đó côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC'D') và (MAB) bằng

Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = n^{2} + n + 1$ với $n \in N^{*}$ . Số 21 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số đã cho?

Cho dãy số $(u_{n})$ là cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1} = 1$ , công bội q=2. Tổng ba số hạng đầu của cấp số nhân là

Trên giá sách có 6 quyển sách Toán khác nhau, 7 quyển sách Văn khác nhau và 8 quyển sách Tiếng Anh khác nhau. Có bao nhiêu cách lấy 2 quyển sách thuộc 2 môn khác nhau?

Cho giới hạn $\lim_{x \to - 4} \frac{x^{2} + 3 x - 4}{x^{2} + 4 x} = \frac{a}{b}$ , với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức $a^{2} - b^{2}$

Đạo hàm của hàm số $y = \frac{\ln (x^{2} + 1)}{x}$ tại điểm x=1 là $y' (1) = a \ln 2 + b (a; b \in Z)$ . Tính a-b

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 5sin2x+5cos2x=25 trên đoạn 0; 2π.

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Biết hàm số y=f'(x) có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên m∈-2021;2021 để hàm số gx=fx+m nghịch biến trên khoảng (1;2). Hỏi S có bao nhiêu phần tử?

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có tâm O. Gọi I là tâm hình vuông A'B'C'D' và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO=2MI. Khi đó côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC'D') và (MAB) bằng

Cho dãy số un với un=n2+n+1 với n∈N*. Số 21 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số đã cho?

Cho dãy số un là cấp số nhân có số hạng đầu u1=1, công bội q=2. Tổng ba số hạng đầu của cấp số nhân là

Trên giá sách có 6 quyển sách Toán khác nhau, 7 quyển sách Văn khác nhau và 8 quyển sách Tiếng Anh khác nhau. Có bao nhiêu cách lấy 2 quyển sách thuộc 2 môn khác nhau?

Cho giới hạn limx→-4x2+3x-4x2+4x=ab, với ab là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức a2-b2

Đạo hàm của hàm số y=lnx2+1x tại điểm x=1 là y'1=aln2+b a; b∈Z. Tính a-b

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình $5^{\sin^{2} x} + 5^{\cos^{2} x} = 2 \sqrt{5}$ trên đoạn $[0; 2 π] .$

Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = n^{2} + n + 1$ với $n \in N^{*}$ . Số 21 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số đã cho?

Cho dãy số $(u_{n})$ là cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1} = 1$ , công bội q=2. Tổng ba số hạng đầu của cấp số nhân là

Cho giới hạn $\lim_{x \to - 4} \frac{x^{2} + 3 x - 4}{x^{2} + 4 x} = \frac{a}{b}$ , với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức $a^{2} - b^{2}$

Đạo hàm của hàm số $y = \frac{\ln (x^{2} + 1)}{x}$ tại điểm x=1 là $y' (1) = a \ln 2 + b (a; b \in Z)$ . Tính a-b