Cho hàm số fx=2sinx. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thỏa mãn Fπ2=0. Giá trị lớn nhất của hàm số gx=eFx trên đoạn π6;2π3 bằng A. 3 B. 13. C. 7−43. D. 7+43.

Chọn A.Cách 1: Ta có: Fx=∫2dxsinx=∫2dx2sinx2cosx2=∫dxcos2x2.tanx2=2∫dtanx2tanx2=2lntanx2+C.⇒Fx=2lntanx2+C.Mà Fπ2=0⇔2lntanπ4+C=0⇒C=0⇒Fx=2lntanx2=lntanx22.⇒gx=eFx=tan2x2⇒g'x=tanx2.1+tan2x2>0,∀x∈π6;2π3.Do đó hàm số g(x) đồng biến trên π6;2π3 nên maxπ6;2π3gx=g2π3=tanπ32=3.Vậy giá trị lớn nhất của hàm số g(x) trên đoạn π6;2π3 bằng 3.Cách 2:Ta có g'x=F'x.eFx=2sinx.eFx>0,∀x∈π6;2π3.⇒maxπ6;2π3gx=g2π3=eF2π3=eFπ2+∫π22π32dxsinx=3.Vậy giá trị lớn nhất của hàm số g(x) trên đoạn π6;2π3 bằng 3

Câu hỏi:

30/08/2021 651

Cho hàm số $f (x) = \frac{2}{\sin x} .$ Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thỏa mãn $F (\frac{π}{2}) = 0.$ Giá trị lớn nhất của hàm số $g (x) = e^{F (x)}$ trên đoạn $[\frac{π}{6}; \frac{2 π}{3}]$ bằng

A. 3

$B . \frac{1}{3} .$

$C . 7 - 4 \sqrt{3} .$

$D . 7 + 4 \sqrt{3} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn A.

Cách 1:

Ta có: $F (x) = \int_{}^{} \frac{2 d x}{\sin x} = \int_{}^{} \frac{2 d x}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} = \int_{}^{} \frac{d x}{\cos^{2} \frac{x}{2} . \tan \frac{x}{2}} = 2 \int_{}^{} \frac{d (\tan \frac{x}{2})}{\tan \frac{x}{2}} = 2 \ln |\tan \frac{x}{2}| + C .$

$\Rightarrow F (x) = 2 \ln |\tan \frac{x}{2}| + C .$

Mà $F (\frac{π}{2}) = 0 \Leftrightarrow 2 \ln |\tan \frac{π}{4}| + C = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow F (x) = 2 \ln |\tan \frac{x}{2}| = \ln {(\tan \frac{x}{2})}^{2} .$

$\Rightarrow g (x) = e^{F (x)} = \tan^{2} \frac{x}{2} \Rightarrow g' (x) = \tan \frac{x}{2} . (1 + \tan^{2} \frac{x}{2}) > 0, \forall x \in [\frac{π}{6}; \frac{2 π}{3}] .$

Do đó hàm số g(x) đồng biến trên $[\frac{π}{6}; \frac{2 π}{3}]$ nên $\max_{[\frac{π}{6}; \frac{2 π}{3}]} g (x) = g (\frac{2 π}{3}) = {(\tan \frac{π}{3})}^{2} = 3.$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số g(x) trên đoạn $[\frac{π}{6}; \frac{2 π}{3}]$ bằng 3.

Cách 2:

Ta có $g' (x) = F' (x) . e^{F (x)} = \frac{2}{\sin x} . e^{F (x)} > 0, \forall x \in [\frac{π}{6}; \frac{2 π}{3}] .$

$\Rightarrow \max_{[\frac{π}{6}; \frac{2 π}{3}]} g (x) = g (\frac{2 π}{3}) = e^{F (\frac{2 π}{3})} = e^{F (\frac{π}{2}) + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{2 d x}{\sin x}} = 3.$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số g(x) trên đoạn $[\frac{π}{6}; \frac{2 π}{3}]$ bằng 3

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Thể tích của khối cầu có bán kính R là

$A . \frac{4 π R^{3}}{3} .$

$B . \frac{4 R^{3}}{3} .$

$C . 4 π R^{3} .$

$D . \frac{3 π R^{3}}{4} .$

Lời giải

Chọn A.

Theo công thức tính thể tích khối cầu bán kính R ta có: $V = \frac{4 π R^{3}}{3} .$

Câu 2

Tìm $\int \frac{1}{x} d x .$

$A . \int \frac{1}{x} d x = \ln |x| + C .$

$B . \int \frac{1}{x} d x = - \ln |x| + C .$

$C . \int \frac{1}{x} d x = \frac{1}{x^{2}} + C .$

$D . \int \frac{1}{x} d x = - \frac{1}{x^{2}} + C .$

Lời giải

Chọn A.

Ta có: $\int_{}^{} \frac{1}{x} d x = \ln |x| + C .$

Câu 3

Cho hình nón có chiều cao bằng 3a biết rằng khi cắt hình nón đã cho bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cách tâm của đáy hình nón một khoảng bằng a thiết diện thu được là một tam giác vuông. Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng

$A . 15 π a^{3} .$

$B . 9 π a^{3} .$

$C . \frac{45 π a^{3}}{4} .$

$D . 12 π a^{3} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Tập nghiệm S của bất phương trình $9^{x + \frac{1}{2}} - {10.3}^{x} + 3 \leq 0$

$A . S = \{- 1; 1\} .$

B. S=(-1;1)

$C . S = [- 1; 1] .$

$D . S = (- \infty; - 1] \cup [1; + \infty) .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;1] của hàm số $y = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2020^{2021} .$ Giá trị biểu thức P=M-m bằng

A. -1

B. 1

$C . 2020^{2021} + 1.$

$D . 2020^{2021} - 1.$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Hàm số nào sau đây đồng biến trên $ℝ$

$A . y = x^{4} + 2 x^{2} .$

$B . y = \frac{x - 1}{x + 1} .$

$C . y = - x^{3} - 3 x + 1.$

$D . y = 2 x^{3} + 3 x + 1.$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 8 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.$ Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Tính xác suất để số được chọn có chữ số ở hàng đơn vị chia hết cho 3 và tổng các chữ số của số đó chia hết cho 13

A. $\frac{1}{18} .$

$B . \frac{1}{36} .$

$C . \frac{1}{9} .$

$D . \frac{1}{72} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho hàm số fx=2sinx. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thỏa mãn Fπ2=0. Giá trị lớn nhất của hàm số gx=eFx trên đoạn π6;2π3 bằng

Thể tích của khối cầu có bán kính R là

Tìm ∫1xdx.

Tập nghiệm S của bất phương trình 9x+12−10.3x+3≤0

Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;1] của hàm số y=2x3−3x2+20202021. Giá trị biểu thức P=M-m bằng

Hàm số nào sau đây đồng biến trên ℝ

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số $f (x) = \frac{2}{\sin x} .$ Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thỏa mãn $F (\frac{π}{2}) = 0.$ Giá trị lớn nhất của hàm số $g (x) = e^{F (x)}$ trên đoạn $[\frac{π}{6}; \frac{2 π}{3}]$ bằng

Tìm $\int \frac{1}{x} d x .$

Tập nghiệm S của bất phương trình $9^{x + \frac{1}{2}} - {10.3}^{x} + 3 \leq 0$

Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;1] của hàm số $y = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2020^{2021} .$ Giá trị biểu thức P=M-m bằng

Hàm số nào sau đây đồng biến trên $ℝ$