Câu hỏi:

05/09/2021 348

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có $A B = A C = B B' = a; \hat{B A C} = 120 °$ . Gọi I là trung điểm của CC'. Côsin của góc tạo bởi (ABC) hai mặt phẳng và (AB'I) bằng

A. $\frac{\sqrt{21}}{7}$

B. $\frac{\sqrt{30}}{20}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{\sqrt{30}}{10}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: [Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn D.

Gọi $α$ là góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I)

Do tam giác ABC là hình chiếu của tam giác AB'I trên mặt phẳng (ABC) nên ta có

$S_{A B C} = S_{A B' I} . \cos α S_{A B C} = \frac{1}{2} . A B . A C . \sin 120^{0} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} . A B'^{2} = A A'^{2} + A' B'^{2} = 2 a^{2} . A I^{2} = A C^{2} + C I^{2} = a^{2} + \frac{a^{2}}{4} = \frac{5 a^{2}}{4} C' B'^{2} = C' A'^{2} + A' B'^{2} - 2 . A' B' . A' C' . \cos 120^{0} = 3 a^{2} . B' I^{2} = B' C'^{2} + C' I^{2} = 3 a^{2} + \frac{a^{2}}{4} = \frac{13 a^{2}}{4} .$

Có $A B'^{2} + A I^{2} = B' I^{2} \Rightarrow Δ A B' I$ vuông tại A

$S_{A B' I} = \frac{1}{2} . A B' . A I = \frac{a^{2} \sqrt{10}}{4} .$ Do đó $\cos α = \frac{S_{A B C}}{S_{A B' I}} = \frac{\sqrt{30}}{10} .$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với đáy một góc $60 °$ . Thể tích của khối chóp đó bằng

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{36}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

Lời giải

Chọn A.

Gọi H là trung điểm BC và G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có $S G ⊥ (A B C) .$

Tam giác ABC đều cạnh a nên $S_{Δ A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ và $A G = \frac{2}{3} A H = \frac{2}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{3} .$

$\hat{(S A, (A B C))} = \hat{S A G} = 60^{0} .$

Trong tam giác vuông SGA ta có $S G = A G . \tan \hat{S A G} = \frac{a \sqrt{3}}{3} . \sqrt{3} = a .$

Vậy $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . S G . S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} . a . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} .$

Câu 2

Ông A dự định sử dụng hết $8 m^{2}$ kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng ( các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm)?

A. 2,05 $m^{2}$

B. 1,02 $m^{2}$

C. 1,45 $m^{2}$

D. 0,73 $m^{2}$

Lời giải

Chọn A.

Gọi chiều rộng, chiều cao của bể cá lần lượt là x,h (x;h>0). Khi đó chiều dài là 2x

Tổng diện tích các mặt không kể nắp là $2 x^{2} + 4 x h + 2 x h = 8 \Leftrightarrow h = \frac{4 - x^{2}}{3 x} .$ Vì x;h>0 nên $x \in (0; 2) .$

Thể tích của bể cá là $V = 2 x . x . h = \frac{8 x - 2 x^{3}}{3} .$

Ta có $V' = \frac{8}{3} - 2 x^{2},$ cho $V' = 0 \Leftrightarrow \frac{8}{3} - 2 x^{2} = 0 \Rightarrow x = \frac{2 \sqrt{3}}{3} .$

Bảng biến thiên

Bể các có dung tích lớn nhất bằng $\frac{32 \sqrt{3}}{27} \approx 2, 05 .$

Câu 3

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Mặt phẳng (AB'C') tạo với mặt phẳng (ABC) một góc $60 °$ . Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{4}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{8}$

D. $\frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{8}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên R?

A. $y = \frac{2 x - 1}{x + 3}$

B. $y = x^{4} - 2 x^{2}$

C. $y = x^{3} + 2 x - 2020$

D. $y = x^{2} + 2 x - 1$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho đa giác đều có 10 cạnh. Số tam giác có 3 đỉnh là ba đỉnh của đa giác đều đã cho là

A. 120

B. 240

C. 720

D. 35

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có $S A = S B = S C = S D = 4 \sqrt{11}$ , đáy là ABCD là hình vuông cạnh 8. Thể tích V của khối chóp S.ABC là

A. $V_{S . A B C} = 32$

B. $V_{S . A B C} = 64$

C. $V_{S . A B C} = 128$

D. $V_{S . A B C} = 256$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC=2a biết rằng (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 45 $°$ .Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng

A. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

C. $a^{3} \sqrt{3}$

D. $a^{3} \sqrt{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Giáo dục công dân

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học