Một khối nón làm bằng chất liệu không thấm nước, có khối lượng riêng lớn hơn khối lượng riêng của nước, có đường kính đáy bằng a và chiều cao 12, được đặt trong và trên đáy của một cái cốc hình trụ bán kính đáy a như hình vẽ, sao cho đáy của khối nón tiếp xúc với đáy của cốc hình trụ. Đổ nước vào cốc hình trụ đến khi mực nước đạt đến độ cao 12 thì lấy khối nón ra. Hãy tính độ cao của nước trong cốc sau khi đã lấy khối nón ra.

Biết chu kỳ bán hủy của chất phóng xạ plutôni Pu²³⁹ là 24360 năm (tức là một lượng Pu²³⁹ sau 24360 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được tính theo công thức S=Ae^rt, trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ phân hủy hàng năm (r<0, làm tròn đến chữ số thập phân thứ 6), t là thời gian phân hủy, S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy t. Hỏi 10 gam Pu²³⁹ sau khoảng bao nhiêu năm phân hủy sẽ còn 1 gam?

Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, $\widehat{BAD}=60°$. Hình chiếu vuông góc của B’xuống mặt đáy trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy và cạnh bên BB’=a. Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy.

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{e^{2x}-6}{e^x}$, biết F(0) = 7. Tính tổng các nghiệm của phương trình F(x) = 5.

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left(x+2a\right)\left(x+2b-a\right)\left(ax+1\right)$. Có bao nhiêu cặp số thực (a;b) để hàm số đồng biến trên R.

Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AA’ và BB’. Đường thẳng CM cắt đường thẳng C’A’ tại P, đường thẳng CN cắt đường thẳng C’B’ tại Q. Thể tích của khối đa diện lồi A’.MPB’NQ bằng

Nghiệm của phương trình ${\log }_{2}x+{\log }_{4}x={\log }_{\frac{1}{2}}\sqrt{3}$ là

Cho hàm số $f\left(x\right)=5e^{x^2}$. Tính $P=f^{\text{'}}\left(x\right)-2x.f\left(x\right)+\frac{1}{5}f\left(0\right)-f^{\text{'}}\left(0\right)$.