Câu hỏi:

26/10/2021 271

Xét tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi V₁, V₂, V₃ lần lượt là thể tích của các khối tròn xoay sinh ra khi quay tam giác OCA quanh trung trực của đoạn thẳng CA, quay tam giác OAB quanh trung trực của đoạn thẳng AB, quay tam giac OBC quanh trung trực của đoạn thẳng BC. Khi biểu thức V₁+V₂ đạt giá trị lớn nhất, tính V₃ theo R.

A. $V_{3} = \frac{2 \sqrt{3} π}{9} R^{3}$

B. $V_{3} = \frac{32 π}{81} R^{3}$

C. $V_{3} = \frac{57 π}{81} R^{3}$

D. $V_{3} = \frac{8 π}{81} R^{3}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử tốt nghiệp môn Toán THPT năm 2022 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn D

Xét tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi V1, V2, V3 (ảnh 1)

$V_{1} = \frac{1}{3} O P . S_{1} = \frac{1}{3} O P (π {(\frac{A C}{2})}^{2}) = \frac{π}{3} O P . P A^{2} = \frac{π}{3} O P (O A^{2} - O P^{2}) = \frac{π}{3} O P (R^{2} - O P^{2})$

$V_{2} = \frac{1}{3} O Q . S_{2} = \frac{1}{3} O Q (π {(\frac{A B}{2})}^{2}) = \frac{π}{3} O Q . Q A^{2}$

$= \frac{π}{3} O Q (O A^{2} - O Q^{2}) = \frac{π}{3} O Q (R^{2} - O Q^{2})$ .

Xét hàm $f (x) = x (R^{2} - x^{2})$ . Với $0 \leq x < R$ .

Khi đó $f^{'} (x) = R^{2} - 3 x^{2} . f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{R}{\sqrt{3}} \\ x = - \frac{R}{\sqrt{3}} \end{array}$ .

Lập bảng biến thiên, thấy rằng $\max_{x \in [0; R)} g (x) = f (\frac{R}{\sqrt{3}})$ .

Khi đó, áp dụng cho $V_{1}, V_{2}$ : $V_{1} + V_{2} = \frac{π}{3} [O P (R^{2} - O P^{2}) + O Q (R^{2} - O Q^{2})]$ đạt giá trị lớn nhất khi $O P = O Q = \frac{R}{\sqrt{3}}$ .

Hay khi đó tam giác ABC cân tại A (do OP = OQ).

Mà lúc đó $A B = 2 \sqrt{R^{2} - O Q^{2}} = 2 \sqrt{R^{2} - \frac{R^{2}}{3}} = \frac{2 R \sqrt{6}}{3}$ .

Xét tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi V1, V2, V3 (ảnh 2)

Do tam giác ABC cân A nên khi đó $A M ⊥ B C$ .

Ta có

$S_{A B C} = \frac{1}{2} A M . B C = \frac{A B . A C . B C}{4 R} \Rightarrow A M = \frac{A B . A C}{2 R} = \frac{\frac{4 R^{2} .6}{9}}{2 R} = \frac{4 R}{3}$

Mà $A M = A O + O M \Rightarrow O M = \frac{4 R}{3} - R = \frac{R}{3}$

Vậy $V_{3} = \frac{1}{3} O M . S_{3} = \frac{1}{3} O M . π . M C^{2}$ $= \frac{π}{3} O M (R^{2} - O M^{2}) = \frac{π}{3} . \frac{R}{3} (R^{2} - \frac{R^{2}}{9}) = \frac{8 π R^{3}}{81}$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’. Đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và song song với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Mặt phẳng (A’MN) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tỉ số thể tích (phần bé chia phần lớn) của chúng bằng

A. $\frac{2}{3}$

B. $\frac{4}{23}$

C. $\frac{4}{9}$

D. $\frac{4}{27}$

Lời giải

Chọn B

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Gọi E là trung điểm của $B C \Rightarrow \frac{A G}{A E} = \frac{2}{3}$ .

Đường thẳng d đi qua G và song song BC, cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N.

$\Rightarrow \frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{A G}{A E} = \frac{2}{3} \Rightarrow \{\begin{cases} A M = \frac{2}{3} A B \\ A N = \frac{2}{3} A C \end{cases}$ $\Rightarrow S_{Δ A M N} = \frac{4}{9} S_{Δ A B C}$ (1)

Ta có $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{Δ A B C} . A A^{'}$ và $V_{A^{'} . A M N} = \frac{1}{3} S_{Δ A M N} . A A^{'}$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra $V_{A^{'} . A M N} = \frac{4}{27} V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} \Rightarrow V_{B M N C A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{23}{27} V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}$ .

Khi đó tỉ số: $\frac{V_{A^{'} . A M N}}{V_{B M N C . A^{'} B^{'} C^{'}}} = \frac{\frac{4}{27}}{\frac{23}{27}} = \frac{4}{23}$

Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’. Đường thẳng đi qua trọng tâm (ảnh 1)

Câu 2

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : 3 x - 3 y + 2 z - 15 = 0$ và ba điểm $A (1; 2; 0), B (1; - 1; 3), C (1; - 1; - 1)$ . Điểm $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ thuộc (P) sao cho $2 M A^{2} - M B^{2} + M C^{2}$ nhỏ nhất. Giá trị $2 x_{0} + 3 y_{0} + z_{0}$ bằng

A. 11

B. 5

C. 15

D. 10

Lời giải

Chọn B

Xét điểm I thỏa $2 \vec{I A} - \vec{I B} + \vec{I C} = \vec{0}$ suy ra $I (1; 2; - 2)$ .

$2 M A^{2} - M B^{2} + M C^{2} = 2 {(\vec{M I} + \vec{I A})}^{2} - {(\vec{M I} + \vec{I B})}^{2} + {(\vec{M I} + \vec{I C})}^{2} = 2 M I^{2} + 2 I A^{2} - I B^{2} + I C^{2}$

$2 M A^{2} - M B^{2} + M C^{2}$ nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu của I lên (P).

Lúc đó, đường thẳng MI có phương trình $\{\begin{cases} x = 1 + 3 t \\ y = 2 - 3 t \\ z = - 2 + 2 t \end{cases}$ suy ra $\{\begin{cases} x_{0} = 1 + 3 t \\ y_{0} = 2 - 3 t \\ z_{0} = - 2 + 2 t \end{cases}$ .

Mà $3 x_{0} - 3 y_{0} + 2 z_{0} - 15 = 0$ $\Leftrightarrow 3 (1 + 3 t) - 3 (2 - 3 t) + 2 (- 2 + 2 t) - 15 = 0 \Leftrightarrow t = 1$ .

Vậy $2 x_{0} + 3 y_{0} + z_{0} = 2 (1 + 3 t) + 3 (2 - 3 t) + (- 2 + 2 t) = 6 - t = 5$ .

Câu 3

Một chậu nước hình nón cụt có chiều cao 3dm, bán kính đáy lớn là 2dm và bán kính đáy nhỏ là 1dm. Cho biết thể tích nước bằng $\frac{37}{189}$ thể tích của chậu, chiều cao của mực nước là

A. 2dm

B. 0,8dm

C. 1dm

D. 1,5dm

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho các số thực dương a > b > 1 > c. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\log_{a} b > 1 > \log_{b} c > 0$

B. $1 > \log_{a} b > \log_{b} c > 0$

C. $\log_{a} b > 1 > 0 > \log_{b} c$

D. $1 > \log_{a} b > 0 > \log_{b} c$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Miền phẳng trong hình vẽ giới hạn bởi y = f(x) và parabol $y = x^{2} - 2 x$ . Biết $\int_{- \frac{1}{2}}^{1} f (x) d x = \frac{3}{4}$ . Khi đó diện tích hình phẳng được tô trong hình vẽ bằng

A. $\frac{9}{8}$

B. $\frac{3}{2}$

C. $\frac{3}{8}$

D. $\frac{8}{3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Biết số phức z thỏa mãn $|z - 1| \leq 1$ và $z - \bar{z}$ có phần ảo không âm. Phần mặt phẳng biểu diễn số phức z có diện tích là

A. π

B. 2π

C. π²

D. $\frac{π}{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9$ và hai điểm $M (4; - 4; 2), N (6; 0; 6)$ . Gọi E là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho EM+EN đạt giá trị lớn nhất. Phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại E là

A. $x - 2 y + 2 z + 8 = 0$

B. $2 x + y - 2 z - 9 = 0$

C. $2 x + 2 y + z + 1 = 0$

D. $2 x - 2 y + z + 9 = 0$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P:3x−3y+2z−15=0 và ba điểm A1;2;0,B1;−1;3,C1;−1;−1. Điểm Mx0;y0;z0 thuộc (P) sao cho 2MA2−MB2+MC2 nhỏ nhất. Giá trị 2x0+3y0+z0 bằng

Một chậu nước hình nón cụt có chiều cao 3dm, bán kính đáy lớn là 2dm và bán kính đáy nhỏ là 1dm. Cho biết thể tích nước bằng 37189 thể tích của chậu, chiều cao của mực nước là

Cho các số thực dương a > b > 1 > c. Khẳng định nào sau đây đúng?

Miền phẳng trong hình vẽ giới hạn bởi y = f(x) và parabol y=x2−2x. Biết ∫−121fxdx=34. Khi đó diện tích hình phẳng được tô trong hình vẽ bằng

Biết số phức z thỏa mãn z−1≤1 và z−z¯ có phần ảo không âm. Phần mặt phẳng biểu diễn số phức z có diện tích là

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S:x−12+y−22+z−22=9 và hai điểm M4;−4;2,N6;0;6. Gọi E là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho EM+EN đạt giá trị lớn nhất. Phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại E là

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : 3 x - 3 y + 2 z - 15 = 0$ và ba điểm $A (1; 2; 0), B (1; - 1; 3), C (1; - 1; - 1)$ . Điểm $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ thuộc (P) sao cho $2 M A^{2} - M B^{2} + M C^{2}$ nhỏ nhất. Giá trị $2 x_{0} + 3 y_{0} + z_{0}$ bằng

Một chậu nước hình nón cụt có chiều cao 3dm, bán kính đáy lớn là 2dm và bán kính đáy nhỏ là 1dm. Cho biết thể tích nước bằng $\frac{37}{189}$ thể tích của chậu, chiều cao của mực nước là

Miền phẳng trong hình vẽ giới hạn bởi y = f(x) và parabol $y = x^{2} - 2 x$ . Biết $\int_{- \frac{1}{2}}^{1} f (x) d x = \frac{3}{4}$ . Khi đó diện tích hình phẳng được tô trong hình vẽ bằng

Biết số phức z thỏa mãn $|z - 1| \leq 1$ và $z - \bar{z}$ có phần ảo không âm. Phần mặt phẳng biểu diễn số phức z có diện tích là

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9$ và hai điểm $M (4; - 4; 2), N (6; 0; 6)$ . Gọi E là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho EM+EN đạt giá trị lớn nhất. Phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại E là