Cho a,b là hai số thực dương thỏa mãn log5(4a+2b+5a+b)=a+3b−4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=a2+b2. A.32. B.1 C.52. D.12.

Ta có log5(4a+2b+5a+b)=a+3b−4⇔log5(4a+2b+5)−log5(a+b)=a+3b−4 ⇔log5(4a+2b+5)+(4a+2b+5)=log5(a+b)+5a+5b+1 ⇔log5(4a+2b+5)+(4a+2b+5)=log5(5a+5b)+(5a+5b) (1) Xét hàm số f(t)=t+log5t với t>0. Ta có f'(t)=1+1tln5>0,∀t>0. Do đó f(t) đồng biến trên (0;+∞). Khi đó (1)⇔4a+2b+5=5a+5b⇔a=5−3b. Thay vào T=a2+b2=10b2−30b+25=10(b−32)2+52≥52. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi {b=32a=12. Đáp án C

Câu hỏi:

27/03/2022 292

Cho a,b là hai số thực dương thỏa mãn $\log_{5} (\frac{4 a + 2 b + 5}{a + b}) = a + 3 b - 4.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = a^{2} + b^{2} .$

A. $\frac{3}{2} .$

B.1

C. $\frac{5}{2} .$

D. $\frac{1}{2} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: [Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có đáp án (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có $\log_{5} (\frac{4 a + 2 b + 5}{a + b}) = a + 3 b - 4 \Leftrightarrow \log_{5} (4 a + 2 b + 5) - \log_{5} (a + b) = a + 3 b - 4$

$\Leftrightarrow \log_{5} (4 a + 2 b + 5) + (4 a + 2 b + 5) = \log_{5} (a + b) + 5 a + 5 b + 1$

$\Leftrightarrow \log_{5} (4 a + 2 b + 5) + (4 a + 2 b + 5) = \log_{5} (5 a + 5 b) + (5 a + 5 b)$ (1)

Xét hàm số $f (t) = t + \log_{5} t$ với $t > 0.$

Ta có $f' (t) = 1 + \frac{1}{t \ln 5} > 0, \forall t > 0.$ Do đó $f (t)$ đồng biến trên $(0; + \infty) .$

Khi đó $(1) \Leftrightarrow 4 a + 2 b + 5 = 5 a + 5 b \Leftrightarrow a = 5 - 3 b$ .

Thay vào $T = a^{2} + b^{2} = 10 b^{2} - 30 b + 25 = 10 {(b - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{5}{2} \geq \frac{5}{2} .$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ${\begin{cases} b = \frac{3}{2} \\ a = \frac{1}{2} \end{cases} .$

Đáp án C

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên R và hàm số $y = f' (x)$ có đồ thị như hình vẽ.

Tìm số điểm cực trị của hàm số $y = f (x^{2} - 3) .$

A.5

B.2

C.4

D.3

Lời giải

Ta có: $y' = 2 x . f' (x^{2} - 3) .$

$y' = 0 \Leftrightarrow 2 x . f' (x^{2} - 3) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ f' (x^{2} - 3) = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} - 3 = - 2 \\ x^{2} - 3 = 1 \\ x^{2} - 3 = 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \\ x = \pm 2 \end{array}$

Trong 5 nghiệm của phương trình $y' = 0,$ hai nghiệm $x = 2$ và $x = - 2$ là nghiệm bội chẵn nên khi x qua đó đạo hàm không bị đổi dấu.

Do đó hàm số $y = f (x^{2} - 3)$ có 3 điểm cực trị.

Đáp án D

Câu 2

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định và liên tục trên đoạn $[- 1; 5]$ có đồ thị của $y = f' (x)$ được cho như hình bên dưới

Hàm số $g (x) = - 2 f (x) + x^{2} - 4 x + 4$ đồng biến trên khoảng

A. $(0; 2) .$

B. $(- 1; 0) .$

C. $(2; 3) .$

D. $(- 2; - 1) .$

Lời giải

Ta có: $g' (x) = - 2 f' (x) + 2 x - 4.$

$g' (x) = 0 \Leftrightarrow f' (x) = x - 2.$

Vẽ đường thẳng $y = x - 2$ và đồ thị $y = f' (x)$ trên cùng hệ trục tọa độ ta được hình sau:

Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên đoạn (1;5) có đồ thị của y=f'(x)được cho như hình bên dưới (ảnh 2)

Dựa vào đồ thị ta thấy: $f' (x) = x - 2 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = a (a \in (1; 2)) \\ x = 3 \\ x = b (b \in (4; 5)) \end{array}$ .

Để hàm số $g (x)$ đồng biến khi và chỉ khi $g' (x) > 0 \Leftrightarrow - 2 f' (x) + 2 x - 4 > 0 \Leftrightarrow f' (x) < x - 2.$

Nhìn đồ thị ta thấy $f' (x) < x - 2, \forall x \in (a; 3)$ và $x \in (b; 5) \Rightarrow g (x)$ đồng biến trên khoảng $(2; 3) .$

Đáp án C

Câu 3

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = \frac{(m + 1) x - 2}{x - m}$ đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?

A.1

B.2

C.0

D.3

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $x^{3} - 3 x^{2} - m = 0$ có 3 nghiệm phân biệt?

A.3

B.4

C.1

D.2

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ với $u_{1} = - 2$ và $u_{3} = 4.$ Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. $d = 2.$

B. $d = 6.$

C. $d = - 2.$

D. $d = 3.$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm là $f' (x) = x {(x + 1)}^{2} {(x - 2)}^{4}, \forall x \in ℝ .$ Số điểm cực tiểu của hàm số $y = f (x)$ là

A.3

B.0

C.2

D.1

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hàm số $y = \frac{x^{2} - 2 x + m^{2} + 1}{x - 1}$ có đồ thị (C). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để (C) có tiệm cận đứng.

A. $m \in ℝ .$

B. $m \in \emptyset$

C. $m \neq 0.$

D. $m = 0.$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho a,b là hai số thực dương thỏa mãn log5(4a+2b+5a+b)=a+3b−4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=a2+b2.

Bình luận

Cho hàm số y=f(x) xác định trên R và hàm số y=f'(x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số y=f(x2−3).

Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên đoạn [−1;5] có đồ thị của y=f'(x) được cho như hình bên dưới Hàm số g(x)=−2f(x)+x2−4x+4 đồng biến trên khoảng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=(m+1)x−2x−m đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình x3−3x2−m=0 có 3 nghiệm phân biệt?

Cho cấp số cộng (un) với u1=−2 và u3=4. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm là f'(x)=x(x+1)2(x−2)4,∀x∈ℝ. Số điểm cực tiểu của hàm số y=f(x) là

Cho hàm số y=x2−2x+m2+1x−1 có đồ thị (C). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để (C) có tiệm cận đứng.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho a,b là hai số thực dương thỏa mãn $\log_{5} (\frac{4 a + 2 b + 5}{a + b}) = a + 3 b - 4.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = a^{2} + b^{2} .$

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên R và hàm số $y = f' (x)$ có đồ thị như hình vẽ.

Tìm số điểm cực trị của hàm số $y = f (x^{2} - 3) .$

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định và liên tục trên đoạn $[- 1; 5]$ có đồ thị của $y = f' (x)$ được cho như hình bên dưới

Hàm số $g (x) = - 2 f (x) + x^{2} - 4 x + 4$ đồng biến trên khoảng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = \frac{(m + 1) x - 2}{x - m}$ đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $x^{3} - 3 x^{2} - m = 0$ có 3 nghiệm phân biệt?

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ với $u_{1} = - 2$ và $u_{3} = 4.$ Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm là $f' (x) = x {(x + 1)}^{2} {(x - 2)}^{4}, \forall x \in ℝ .$ Số điểm cực tiểu của hàm số $y = f (x)$ là

Cho hàm số $y = \frac{x^{2} - 2 x + m^{2} + 1}{x - 1}$ có đồ thị (C). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để (C) có tiệm cận đứng.