Cho hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm là $f\text{'}\left(x\right)=x{(x+1)}^2{(x-2)}^4,\forall x\in ℝ.$ Số điểm cực tiểu của hàm số $y=f\left(x\right)$ là 

Ta có: $y\text{'}=2x.f\text{'}(x^2-3).$

$y\text{'}=0\iff 2x.f\text{'}(x^2-3)=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ f\text{'}(x^2-3)=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x^2-3=-2\\ x^2-3=1\\ x^2-3=1\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm 1\\ x=\pm 2\end{array}$

Trong 5 nghiệm của phương trình $y\text{'}=\mathrm{0,}$ hai nghiệm $x=2$ và $x=-2$ là nghiệm bội chẵn nên khi x qua đó đạo hàm không bị đổi dấu.

Do đó hàm số $y=f(x^2-3)$ có 3 điểm cực trị.

Đáp án D

Theo bài, $x^3-3x^2-m=0\iff x^3-3x^2=m\left(1\right)$

Nhận xét: Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2$ và đường thẳng $y=m.$

Xét hàm số $y=x^3-3x^2$ ta có $y\text{'}=3x^2-6x;y\text{'}=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}.$

Bảng biến thiên:

 

Phương trình $\left(1\right)$ có 3 nghiệm phân biệt $\iff y\left(2\right)<m<y\left(0\right)\iff -4<m<0.$

Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{-3;-2;-1\}.$

Đáp án A