Cho hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm là $f\text{'}\left(x\right)=x{(x+1)}^2{(x-2)}^4,\forall x\in ℝ.$ Số điểm cực tiểu của hàm số $y=f\left(x\right)$ là 

Ta có: $y\text{'}=2x.f\text{'}(x^2-3).$

$y\text{'}=0\iff 2x.f\text{'}(x^2-3)=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ f\text{'}(x^2-3)=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x^2-3=-2\\ x^2-3=1\\ x^2-3=1\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm 1\\ x=\pm 2\end{array}$

Trong 5 nghiệm của phương trình $y\text{'}=\mathrm{0,}$ hai nghiệm $x=2$ và $x=-2$ là nghiệm bội chẵn nên khi x qua đó đạo hàm không bị đổi dấu.

Do đó hàm số $y=f(x^2-3)$ có 3 điểm cực trị.

Đáp án D

Ta có: $g\text{'}\left(x\right)=-2f\text{'}\left(x\right)+2x-4.$

$g\text{'}\left(x\right)=0\iff f\text{'}\left(x\right)=x-2.$

Vẽ đường thẳng $y=x-2$ và đồ thị $y=f\text{'}\left(x\right)$ trên cùng hệ trục tọa độ ta được hình sau:

Dựa vào đồ thị ta thấy: $f\text{'}\left(x\right)=x-2\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=a(a\in (1;2))\\ x=3\\ x=b(b\in (4;5))\end{array}$.

Để hàm số $g\left(x\right)$ đồng biến khi và chỉ khi $g\text{'}\left(x\right)>0\iff -2f\text{'}\left(x\right)+2x-4>0\iff f\text{'}\left(x\right)<x-2.$

Nhìn đồ thị ta thấy $f\text{'}\left(x\right)<x-\mathrm{2,}\forall x\in (a;3)$ và $x\in (b;5)\Rightarrow g\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng $(2;3).$

Đáp án C