Cho hàm số $f\left(x\right)={2020}^x-{2020}^{-x}.$ Tìm giá trị nguyên lớn nhất của tham số m để phương trình $f({\log }_{2}x-m)+f\left({\log }_2^{3}x\right)=0$ có nghiệm $x\in (1;16)$ 

Xét hàm số $f\left(x\right)={2020}^x-{2020}^{-x}.$

Tập xác định: $D=ℝ.$

Ta có: $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D;f(-x)={2020}^{-x}-{2020}^x=-({2020}^x-{2020}^{-x})=-f\left(x\right)$

Vậy hàm số $f\left(x\right)={2020}^x-{2020}^{-x}$ là hàm số lẻ.

Lại có:

$f\text{'}\left(x\right)={2020}^x.\ln 2020-{2020}^{-x}.\ln 2020.(-x)\text{'}={2020}^x.\ln 2020+{2020}^{-x}.\ln 2020>0\forall x\in D$

Do đó hàm số $f\left(x\right)={2020}^x-{2020}^{-x}$ luôn đồng biến trên R

Theo đề bài ta có:

$f({\log }_{2}x-m)+f\left({\log }_2^{3}x\right)=0$

$\iff f({\log }_{2}x-m)=-f\left({\log }_2^{3}x\right)$

$\iff f({\log }_{2}x-m)=f(-{\log }_2^{3}x)$ (Do $f\left(x\right)$ là hàm số lẻ)

Mặt khác hàm số $f\left(x\right)$ luôn đồng biến trên R nên phương trình có nghiệm duy nhất:

${\log }_{2}x-m=-{\log }_2^{3}x\iff m={\log }_2^{3}x+{\log }_{2}x$

Đặt ${\log }_{2}x=1.$ Với $x\in (1;16)\Rightarrow t\in (0;4).$

Yêu cầu bài toán trở thành, tìm m để phương trình:

$m=t^3+t$ có nghiệm $t\in (0;4).$

Xét hàm số $f\left(t\right)=t^3+t$ trên khoảng $(0;4)$

Ta có: $f\text{'}\left(t\right)=3t^2+t>0\forall t$ nên hàm số $f\left(t\right)$ đồng biến trên $(0;4)$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy, để phương trình có nghiệm trên khoảng $(0;4)$ thì: $0<m<68$

Vậy giá trị nguyên lớn nhất của tham số m để phương trình $f({\log }_{2}x-m)+f\left({\log }_2^{3}x\right)=0$ có nghiệm $x\in (1;16)$ là: $m=67$.

Đáp án C