Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A (m; 0; 0), B (0; m-1; 0), C (0; 0; m+4)  thỏa mãn BC = AD,CA = BD và AB = CD. Giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoai tiếp tứ diện ABCD bằng

Đặt $BC=a$ ; $CA=b$ ; $AB=c$  .

Gọi M , N  lần lượt là trrung điểm của AB và CD .

Theo giả thiết ta có tam giác $\Delta ABC=\Delta CDA$  $\left(c.c.c\right)$  

$\Rightarrow CM=DM$ hay tam giác CMD  cân tại M $\Rightarrow MN\perp CD$   

Chứng minh tương tự ta cũng có $MN\perp AB$ .

Gọi I  là trung điểm của MN  thì $IA=IB$  và $IC=ID$ .

Mặt khác ta lại có $AB=CD$  nên  $\Delta BMI=\Delta CNI$ $\Rightarrow IB=IC$ hay I  là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .

Ta có $I{A}^2=I{M}^2+A{M}^2$$=\frac{M{N}^2}{4}+\frac{A{B}^2}{4}=\frac{M{N}^2+c^2}{4}$ .

Mặt khác CM  là đường trung tuyến của tam giác ABC  nên $C{M}^2=\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}$

$\Rightarrow M{N}^2=C{I}^2-C{N}^2=\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}-\frac{c^2}{4}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2}$

Vậy $I{A}^2=\frac{a^2+b^2+c^2}{8}$ .

Với $a^2+b^2+c^2=2m^2+2{\left(m-1\right)}^2+2{\left(m+4\right)}^2=6{\left(m+1\right)}^2+28$

Vậy $=6{\left(m+1\right)}^2+28\Rightarrow I{A}_{\min }=\sqrt{\frac{7}{2}}=\frac{\sqrt{14}}{2}$ .