Trong không gian Oxyz cho các điểm $A\left(1;1;1\right),B\left(0;1;2\right),C\left(-2;0;1\right)$ và mặt phẳng $\left(P\right):x-y+z+1=0.$ Gọi điểm N là điểm thuộc (P) sao cho $S=2N{A}^2+N{B}^2+N{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Độ dài ON bằng

Chọn B.

Chọn điểm I sao cho $2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}.$

Gọi I(a; b; c) suy ra:

$\overrightarrow{IA}=\left(1-a;1-b;1-c\right),\overrightarrow{IB}=\left(-a;1-b;2-c\right),\overrightarrow{IC}=\left(-2-a;-b;1-c\right).$

Do đó: $2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\iff \left\{\begin{array}{l}2\left(1-a\right)-a-2-a=0\\ 2\left(1-b\right)+1-b-b=0\\ 2\left(1-c\right)+2-c+1-c=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=\frac{3}{4}\\ c=\frac{5}{4}\end{array}\right.\Rightarrow I\left(0;\frac{3}{4};\frac{5}{4}\right).$

Khi đó: $S=2N{A}^2+N{B}^2+N{C}^2=2{\left(\overrightarrow{NI}+\overrightarrow{IA}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{NI}+\overrightarrow{IB}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{NI}+\overrightarrow{IC}\right)}^2$

                                         $=4N{I}^2+I{A}^2+I{B}^2+I{C}^2+2\overrightarrow{NI}\left(2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\right)$

                                         $=4N{I}^2+I{A}^2+I{B}^2+I{C}^2$.

Do I cố định nên $I{A}^2+I{B}^2+I{C}^2$ không đổi.

Do đó để $S_{\min }\iff N{I}_{\min }^2\iff N{I}_{\min }\iff N$ là hình chiếu của I lên (P).

Gọi $\Delta$ là đường thẳng qua I và vuông góc với $\left(P\right)\Rightarrow \left(\Delta \right):\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=\frac{3}{4}-t\\ z=\frac{5}{4}+t\end{array}\right..$

Suy ra $N=\Delta \cap \left(P\right).$

Xét phương trình 

$\Rightarrow N\left(-\frac{1}{2};\frac{5}{4};\frac{3}{4}\right)\Rightarrow ON=\frac{\sqrt{38}}{4}.$