Cho hàm số bậc 4 có đồ thị như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m và $m\in \left[-2021;2021\right]$ để phương trình $\log \left(\frac{f\left(x\right)}{m{x}^2}\right)+x\left(f\left(x\right)-mx\right)=m{x}^3-f\left(x\right)$ có hai nghiệm dương phân biệt? 

     

Chọn A.

Từ đồ thị hàm số, ta có y = f(x) có 3 điểm cực trị là -1, 0, 1 nên hàm số có dạng

$f\text{'}\left(x\right)=ax\left(x^2-1\right)\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{a}{4}{x}^4-\frac{a}{2}{x}^2+b$ và đồ thị hàm số f(x) đi qua hai điểm $\left(0;4\right),\left(1;3\right)$ nên $f\left(x\right)=x^4-2x^2+4\ge 3,\forall x.$

Điều kiện $\frac{f\left(x\right)}{m{x}^2}>0$ suy ra m > 0.

Ta có

$\log \left(\frac{f\left(x\right)}{m{x}^2}\right)+x\left(f\left(x\right)-mx\right)=m{x}^3-f\left(x\right)\iff \log f\left(x\right)+x.f\left(x\right)+f\left(x\right)=\log \left(m{x}^2\right)+x.m{x}^2+m{x}^2$

$\iff \log \left(x+1\right)f\left(x\right)+x.f\left(x\right)+f\left(x\right)=\log \left(\left(x+1\right)m{x}^2\right)+x.m{x}^2+m{x}^2$ do x + 1 > 0 (*)

Xét hàm số $g\left(t\right)=\log t+t$ với t > 0. Ta có $g\text{'}\left(t\right)=\frac{1}{t.\ln 10}+1>0.$

Từ (*) ta có $\left(x+1\right)f\left(x\right)=\left(x+1\right)m{x}^2\iff m=\frac{f\left(x\right)}{x^2}=\frac{x^4-2x^2+4}{x^2}={\left(x+\frac{2}{x}\right)}^2-6.$

Đặt $u=x+\frac{2}{x}\ge 2\sqrt{2},$ khi đó $m=u^2-6,\forall u\ge 2\sqrt{2}.$

Dễ thấy với mỗi giá trị của u cho ta hai giá trị của x > 0 nên yêu cầu bài toán đưa về điều kiện là tìm m để phương trình $m=u^2-6$ có đúng một nghiệm $u>2\sqrt{2}.$ Đặt $h\left(u\right)=u^2-6$ với $u>2\sqrt{2}.$

Do $m\in \mathbb{Z},m\in \left[-2021;2021\right],m>2$ nên có 2019 giá trị thỏa mãn.