Cho số phức z thỏa mãn z=1. GTLN của biểu thức P=z3−z+2 là: A. 3 B. 15 C. 13 D. 4

Đặt z=x+yi x, y∈ℝ.Theo giả thiết, z=1⇒z.z¯=1 và x2+y2=1.P=z.z2−1+2z¯=z2−1+2z¯=x2−y2+2xyi−1+2x−2yi=x2+2x−y2−1+2yx−1i=x2+2x−y2−12+4y2x−12=x2+2x−1+x2−12+41−x2x−12 (vì y2=1−x2)=16x3−4x2−16x+8.Vì x2+y2=1⇒x2=1−y2≤1⇒−1≤x≤1.Xét hàm số fx=16x3−4x2−16x+8, x∈−1 ; 1.f'x=48x2−8x−16. f'x=0⇔x=−12∈−1 ; 1x=23∈−1 ; 1.f−1=4; f−12=13; f23=827; f1=4.⇒max−1 ; 1fx=f−12=13.Vậy maxP=13. Chọn đáp án C

Câu hỏi:

06/04/2022 155

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . GTLN của biểu thức $P = |z^{3} - z + 2|$ là:

A. 3

B. $\sqrt{15}$

C. $\sqrt{13}$

Đáp án chính xác

D. 4

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt

z = x + y i (x, y \in ℝ)

.
Theo giả thiết,

|z| = 1 \Rightarrow z . \bar{z} = 1

và

x^{2} + y^{2} = 1

.

P = |z| . |z^{2} - 1 + 2 \bar{z}| = |z^{2} - 1 + 2 \bar{z}| = |x^{2} - y^{2} + 2 x y i - 1 + 2 x - 2 y i| = |(x^{2} + 2 x - y^{2} - 1) + 2 y (x - 1) i|

= \sqrt{{(x^{2} + 2 x - y^{2} - 1)}^{2} + 4 y^{2} {(x - 1)}^{2}} = \sqrt{{(x^{2} + 2 x - 1 + x^{2} - 1)}^{2} + 4 (1 - x^{2}) {(x - 1)}^{2}}

(vì

y^{2} = 1 - x^{2}

)

= \sqrt{16 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 8}

.
Vì

x^{2} + y^{2} = 1 \Rightarrow x^{2} = 1 - y^{2} \leq 1 \Rightarrow - 1 \leq x \leq 1

.
Xét hàm số

f (x) = 16 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 8, x \in [- 1; 1]

.

f^{'} (x) = 48 x^{2} - 8 x - 16

.

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{1}{2} \in [- 1; 1] \\ x = \frac{2}{3} \in [- 1; 1] \end{array}

.

f (- 1) = 4

;

f (- \frac{1}{2}) = 13

;

f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27}

;

f (1) = 4

.

\Rightarrow \max_{[- 1; 1]} f (x) = f (- \frac{1}{2}) = 13

.
Vậy

\max P = \sqrt{13}

.

Chọn đáp án C

Bình luận

Câu 1:

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $\int \sin x d x = \cos x + C$

B. $\int \frac{1}{x} d x = \ln |x| + C, x \neq 0$

C. $\int e^{x} d x = e^{x} + C$

D. $\int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C, (0 < a \neq 1)$

Xem đáp án » 06/04/2022 9,909

Câu 2:

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $z^{3} = 1$ ?

A. 2

B. 3

C. 4

D. 1

Xem đáp án » 06/04/2022 8,645

Câu 3:

Biết $\int_{0}^{1} \frac{2 x + 3}{2 - x} d x = a \ln 2 + b$ với $a, b \in Q$ . Hãy tính $a + 2 b$

A. $a + 2 b = 3$

B. $a + 2 b = 0$

C. $a + 2 b = - 10$

D. $a + 2 b = 10$

Xem đáp án » 06/04/2022 4,888

Câu 4:

Một mảnh vườn hoa dạng hình tròn có bán kính bằng 5m. Phần đất trồng hoa là phần tô trong hình vẽ bên. Kinh phí trồng hoa là $50.000$ đồng/ $m^{2}$ . Hỏi số tiền cần để trồng hoa trên diện tích phần đất đó là bao nhiêu, biết hai hình chữ nhật $A B C D$ và $M N P Q$ có $A B = M Q = 5 m$ ?

A. $3.641.528$ đồng

B. $3.533.057$ đồng

C. 3.641.529 đồng

D. $3.533.058$ đồng

Xem đáp án » 06/04/2022 1,017

Câu 5:

Cho cấp số cộng có số hạng đầu là $u_{1} = 3$ và $u_{6} = 18$ . Công sai của cấp số cộng đó là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án » 04/04/2022 885

Câu 6:

Ta có $C_{n}^{k}$ là số các tổ hợp chập k của một tập hợp gồm n phần tử $(1 \leq k \leq n)$ . Chọn mệnh đề đúng.

A. $C_{n}^{k} = \frac{A_{n}^{k}}{(n - k)!}$

B. $C_{n}^{k} = \frac{A_{n}^{k}}{k!}$

C. $C_{n}^{k} = \frac{k! (n - k)!}{n!}$

D. $C_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}$

Xem đáp án » 04/04/2022 878

Câu 7:

Tìm giá trị của tham số m thực để giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{2 x + m}{x + 1}$ trên đoạn $[0; 4]$ bằng 3.

A. $m = 5$

B. $m = 3$

C. $m = 1$

D. $m = 7$

Xem đáp án » 06/04/2022 786

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . GTLN của biểu thức $P = |z^{3} - z + 2|$ là:

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Mệnh đề nào sau đây sai?

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $z^{3} = 1$ ?

Biết $\int_{0}^{1} \frac{2 x + 3}{2 - x} d x = a \ln 2 + b$ với $a, b \in Q$ . Hãy tính $a + 2 b$

Cho cấp số cộng có số hạng đầu là $u_{1} = 3$ và $u_{6} = 18$ . Công sai của cấp số cộng đó là:

Ta có $C_{n}^{k}$ là số các tổ hợp chập k của một tập hợp gồm n phần tử $(1 \leq k \leq n)$ . Chọn mệnh đề đúng.

Tìm giá trị của tham số m thực để giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{2 x + m}{x + 1}$ trên đoạn $[0; 4]$ bằng 3.

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho số phức z thỏa mãn z=1. GTLN của biểu thức P=z3−z+2 là:

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Mệnh đề nào sau đây sai?

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z3=1?

Biết ∫012x+32−xdx=aln2+b với a, b∈Q. Hãy tính a+2b

Cho cấp số cộng có số hạng đầu là u1=3 và u6=18 . Công sai của cấp số cộng đó là:

Ta có Cnk là số các tổ hợp chập k của một tập hợp gồm n phần tử 1≤k≤n . Chọn mệnh đề đúng.

Tìm giá trị của tham số m thực để giá trị nhỏ nhất của hàm số y=2x+mx+1 trên đoạn 0;4 bằng 3.

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . GTLN của biểu thức $P = |z^{3} - z + 2|$ là:

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $z^{3} = 1$ ?

Biết $\int_{0}^{1} \frac{2 x + 3}{2 - x} d x = a \ln 2 + b$ với $a, b \in Q$ . Hãy tính $a + 2 b$

Cho cấp số cộng có số hạng đầu là $u_{1} = 3$ và $u_{6} = 18$ . Công sai của cấp số cộng đó là:

Ta có $C_{n}^{k}$ là số các tổ hợp chập k của một tập hợp gồm n phần tử $(1 \leq k \leq n)$ . Chọn mệnh đề đúng.

Tìm giá trị của tham số m thực để giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{2 x + m}{x + 1}$ trên đoạn $[0; 4]$ bằng 3.