Cho số phức z thỏa mãn z=1. GTLN của biểu thức P=z3−z+2 là: A. 3 B. 15 C. 13 D. 4

Đặt z=x+yi x, y∈ℝ.Theo giả thiết, z=1⇒z.z¯=1 và x2+y2=1.P=z.z2−1+2z¯=z2−1+2z¯=x2−y2+2xyi−1+2x−2yi=x2+2x−y2−1+2yx−1i=x2+2x−y2−12+4y2x−12=x2+2x−1+x2−12+41−x2x−12 (vì y2=1−x2)=16x3−4x2−16x+8.Vì x2+y2=1⇒x2=1−y2≤1⇒−1≤x≤1.Xét hàm số fx=16x3−4x2−16x+8, x∈−1 ; 1.f'x=48x2−8x−16. f'x=0⇔x=−12∈−1 ; 1x=23∈−1 ; 1.f−1=4; f−12=13; f23=827; f1=4.⇒max−1 ; 1fx=f−12=13.Vậy maxP=13. Chọn đáp án C

Câu hỏi:

06/04/2022 181

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . GTLN của biểu thức $P = |z^{3} - z + 2|$ là:

A. 3

B. $\sqrt{15}$

C. $\sqrt{13}$

D. 4

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt

z = x + y i (x, y \in ℝ)

.
Theo giả thiết,

|z| = 1 \Rightarrow z . \bar{z} = 1

và

x^{2} + y^{2} = 1

P = |z| . |z^{2} - 1 + 2 \bar{z}| = |z^{2} - 1 + 2 \bar{z}| = |x^{2} - y^{2} + 2 x y i - 1 + 2 x - 2 y i| = |(x^{2} + 2 x - y^{2} - 1) + 2 y (x - 1) i|

= \sqrt{{(x^{2} + 2 x - y^{2} - 1)}^{2} + 4 y^{2} {(x - 1)}^{2}} = \sqrt{{(x^{2} + 2 x - 1 + x^{2} - 1)}^{2} + 4 (1 - x^{2}) {(x - 1)}^{2}}

(vì

y^{2} = 1 - x^{2}

)

= \sqrt{16 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 8}

.
Vì

x^{2} + y^{2} = 1 \Rightarrow x^{2} = 1 - y^{2} \leq 1 \Rightarrow - 1 \leq x \leq 1

.
Xét hàm số

f (x) = 16 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 8, x \in [- 1; 1]

f^{'} (x) = 48 x^{2} - 8 x - 16

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{1}{2} \in [- 1; 1] \\ x = \frac{2}{3} \in [- 1; 1] \end{array}

f (- 1) = 4

;

f (- \frac{1}{2}) = 13

;

f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27}

;

f (1) = 4

\Rightarrow \max_{[- 1; 1]} f (x) = f (- \frac{1}{2}) = 13

.
Vậy

\max P = \sqrt{13}

Chọn đáp án C

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $\int \sin x d x = \cos x + C$

B. $\int \frac{1}{x} d x = \ln |x| + C, x \neq 0$

C. $\int e^{x} d x = e^{x} + C$

D. $\int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C, (0 < a \neq 1)$

Lời giải

Theo bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp ta có: Phương án A, B, C đúng.

Phương án D sai vì

\int \sin x d x = - \cos x + C

Chọn đáp án A

Câu 2

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $z^{3} = 1$ ?

A. 2

B. 3

C. 4

D. 1

Lời giải

Ta có $z^{3} = 1 \Leftrightarrow z^{3} - 1 = 0 \Leftrightarrow (z - 1) (z^{2} + z + 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z = 1 \\ z = - \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2} i \end{array}$

Vậy có 3 số phức z thỏa mãn $z^{3} = 1$ .

Chọn đáp án B

Câu 3

Biết $\int_{0}^{1} \frac{2 x + 3}{2 - x} d x = a \ln 2 + b$ với $a, b \in Q$ . Hãy tính $a + 2 b$

A. $a + 2 b = 3$

B. $a + 2 b = 0$

C. $a + 2 b = - 10$

D. $a + 2 b = 10$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Một mảnh vườn hoa dạng hình tròn có bán kính bằng 5m. Phần đất trồng hoa là phần tô trong hình vẽ bên. Kinh phí trồng hoa là $50.000$ đồng/ $m^{2}$ . Hỏi số tiền cần để trồng hoa trên diện tích phần đất đó là bao nhiêu, biết hai hình chữ nhật $A B C D$ và $M N P Q$ có $A B = M Q = 5 m$ ?

A. $3.641.528$ đồng

B. $3.533.057$ đồng

C. 3.641.529 đồng

D. $3.533.058$ đồng

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Tìm giá trị của tham số m thực để giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{2 x + m}{x + 1}$ trên đoạn $[0; 4]$ bằng 3.

A. $m = 5$

B. $m = 3$

C. $m = 1$

D. $m = 7$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Ta có $C_{n}^{k}$ là số các tổ hợp chập k của một tập hợp gồm n phần tử $(1 \leq k \leq n)$ . Chọn mệnh đề đúng.

A. $C_{n}^{k} = \frac{A_{n}^{k}}{(n - k)!}$

B. $C_{n}^{k} = \frac{A_{n}^{k}}{k!}$

C. $C_{n}^{k} = \frac{k! (n - k)!}{n!}$

D. $C_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho cấp số cộng có số hạng đầu là $u_{1} = 3$ và $u_{6} = 18$ . Công sai của cấp số cộng đó là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Giáo dục công dân

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học