Câu hỏi:

08/04/2022 493

Trong không gian Oxyz, cho hình nón có đỉnh I thuộc mặt phẳng $(P) : 2 x - y - 2 z - 7 = 0$ và hình tròn đáy nằm trên mặt phẳng $(R) : 2 x - y - 2 z + 8 = 0$ . Mặt phẳng (Q) đi qua điểm $A (0; - 2; 0)$ và vuông góc với trục của hình nón chia hình nón thành hai phần có thể tích lần lượt là $V_{1}$ và $V_{2}$ ( $V_{1}$ là thể tích của hình nón chứa đỉnh I ). Biết bằng biểu thức $S = V_{2} + \frac{78}{V_{1}^{3}}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $V_{1} = a$ , $V_{2} = b$ . Khi đó tổng $a^{2} + b^{2}$ bằng

A. $52 \sqrt{3} π^{2}$

B. $377 \sqrt{3}$

C. 2031

D. $2031 π^{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Trong không gian Oxyz , cho hình nón có đỉnh I thuộc mặt phẳng (ảnh 1)

Dễ thấy

(P) // (R)

, gọi O là tâm của đường tròn đáy hình nón,

O^{'} = I O \cap (Q)

, từ giả thiết ta có

I O^{'} = d (A, (P)) = \frac{5}{3}

;

O O^{'} = d (A, (R)) = \frac{10}{3}

suy ra

O O^{'} = 2 I O^{'}

.
Gọi M là điểm thuộc đường tròn (O),

M^{'} = I M \cap (Q)

, do

O^{'} M^{'} // O M

nên

\frac{I O^{'}}{I O} = \frac{O^{'} M^{'}}{O M} = \frac{1}{3}

.
Do đó

r_{2} = 3 r_{1}

, (trong đó

r_{1}

và

r_{2}

lần lượt là bán kính của các đường tròn

(O^{'})

và

(O)

). Đặt

I O^{'} = h

, khi đó

\frac{V_{1}}{V} = \frac{\frac{1}{3} π r_{1}^{2} h}{\frac{1}{3} π {(3 r_{1})}^{2} .3 h} = \frac{1}{27} \Rightarrow V = 27 V_{1} \Rightarrow V_{2} = V - V_{1} = 26 V_{1}

S = V_{2} + \frac{78}{V_{1}^{3}} = 26 V_{1} + \frac{78}{V_{1}^{3}} = \frac{26}{3} V_{1} + \frac{26}{3} V_{1} + \frac{26}{3} V_{1} + \frac{78}{V_{1}^{3}} \geq 4 \sqrt[4]{\frac{26}{3} V_{1} . \frac{26}{3} V_{1} . \frac{26}{3} V_{1} . \frac{78}{V_{1}^{3}}} = 4 \sqrt[4]{\frac{456976}{9}}

Dấu "=" xảy ra khi

\frac{26}{3} V_{1} = \frac{78}{V_{1}^{3}} \Leftrightarrow V_{1} = \sqrt{3}

. Suy ra

\{\begin{cases} a = \sqrt{3} \\ b = 26 \sqrt{3} \end{cases}

.
Vậy

a^{2} + b^{2} = 3 + 26^{2} .3 = 2031

Chọn đáp án C

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian Oxyz, đường thẳng Oy có phương trình tham số là

A. $\{\begin{cases} x = 0 \\ y = 2 + t \\ z = 0 \end{cases} (t \in ℝ)$

B. $\{\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \\ z = t \end{cases} (t \in ℝ)$

C. $\{\begin{cases} x = t \\ y = 0 \\ z = 0 \end{cases} (t \in ℝ)$

D. $\{\begin{cases} x = t \\ y = t \\ z = t \end{cases} (t \in ℝ) f$

Lời giải

Đường thẳng Oy đi qua điểm

A (0; 2; 0)

và nhận vectơ đơn vị

\vec{j} = (0; 1; 0)

làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là

\{\begin{cases} x = 0 + 0. t \\ y = 2 + 1. t \\ z = 0 + 0. t \end{cases} (t \in ℝ) \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ y = 2 + t \\ z = 0 \end{cases} (t \in ℝ)

Chọn đáp án A

Câu 2

Cho hàm số f(x).Biết $f (0) = 4$ và $f^{'} (x) = 2 \cos^{2} x + 3, \forall x \in ℝ$ , khi đó $\int_{0}^{\frac{π}{4}} f (x) d x$ bằng?

A. $\frac{π^{2} + 2}{8}$

B. $\frac{π^{2} + 8 π + 8}{8}$

C. $\frac{π^{2} + 8 π + 2}{8}$

D. $\frac{π^{2} + 6 π + 8}{8}$

Lời giải

Ta có

f (x) = \int f^{^{,}} (x) d x = \int (2 \cos^{2} x + 3) d x = \int (2. \frac{1 + \cos 2 x}{2} + 3) d x

.
=

= \int (\cos 2 x + 4) d x \frac{1}{2} \sin 2 x + 4 x + C

f (0) = 4 \Rightarrow C = 4

.
Vậy

f (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x + 4 x + 4

nên

\int_{0}^{\frac{π}{4}} f (x) d x = \int_{0}^{\frac{π}{4}} (\frac{1}{2} \sin 2 x + 4 x + 4) d x

= {(- \frac{1}{4} \cos 2 x + 2 x^{2} + 4 x)|}_{0}^{\frac{π}{4}} = \frac{π^{2} + 8 π + 2}{8}

Chọn đáp án C

Câu 3

Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi từ một hộp chứa 2 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Xác suất để chọn được 2 viên bi xanh là

A. $\frac{3}{25}$

B. $\frac{2}{5}$

C. $\frac{3}{10}$

D. $\frac{7}{10}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Bồn hoa của một trường X có dạng hình tròn bán kính bằng 8m. Người ta chia bồn hoa thành các phần như hình vẽ dưới đây và có ý định trồng hoa như sau: Phần diện tích bên trong hình vuông ABCD để trồng hoa. Phần diện tích kéo dài từ 4 cạnh của hình vuông đến đường tròn dùng để trồng cỏ. Ở 4 góc còn lại mỗi góc trồng một cây cọ. Biết AB = 4m, giá trồng hoa là 200.000 đ/m2, giá trồng cỏ là 100.000 đ/m2, mỗi cây cọ giá 150.000đ. hỏi cần bao nhiêu tiền để thực hiện việc trang trí bồn hoa đó

A. 14.465.000 đồng

B. 14.865.000 đồng

C. 13.265.000 đồng

D. 12.218.000 đồng

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Tập nghiệm của phương trình $2^{x^{2} - x - 4} = \frac{1}{16}$ là

A. $ϕ$

B. $\{2; 4\}$

C. $\{- 2; 2\}$

D. $\{0; 1\}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong không gian với hệ trục Oxyz, đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau $d_{1} : \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z + 4}{- 5}$ và $d_{2} : \frac{x + 1}{3} = \frac{y - 4}{- 2} = \frac{z - 4}{- 1}$ có phương trình

A. $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{4}$

B. $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{1}$

C. $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 3}{2}$

D. $\frac{x}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{- 1}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f' (x) = {(x - 2)}^{2} (x - 1) x^{3}, \forall x \in ℝ$ . Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

A. 2

B. 1

C. 3

D. 0

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Trong không gian Oxyz, đường thẳng Oy có phương trình tham số là

Cho hàm số f(x).Biết f(0)=4 và f'(x)=2cos2x+3, ∀x∈ℝ, khi đó ∫0π4f(x)dx bằng?

Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi từ một hộp chứa 2 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Xác suất để chọn được 2 viên bi xanh là

Tập nghiệm của phương trình 2x2−x−4=116là

Trong không gian với hệ trục Oxyz, đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1:x−22=y−33=z+4−5 và d2:x+13=y−4−2=z−4−1 có phương trình

Cho hàm số y=fx có đạo hàm f'x=x−22x−1x3 ,∀x∈ℝ. Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số f(x).Biết $f (0) = 4$ và $f^{'} (x) = 2 \cos^{2} x + 3, \forall x \in ℝ$ , khi đó $\int_{0}^{\frac{π}{4}} f (x) d x$ bằng?

Tập nghiệm của phương trình $2^{x^{2} - x - 4} = \frac{1}{16}$ là

Trong không gian với hệ trục Oxyz, đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau $d_{1} : \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z + 4}{- 5}$ và $d_{2} : \frac{x + 1}{3} = \frac{y - 4}{- 2} = \frac{z - 4}{- 1}$ có phương trình

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f' (x) = {(x - 2)}^{2} (x - 1) x^{3}, \forall x \in ℝ$ . Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là