Câu hỏi:

08/04/2022 805

Trong không gian Oxyz, cho hình nón có đỉnh I thuộc mặt phẳng $(P) : 2 x - y - 2 z - 7 = 0$ và hình tròn đáy nằm trên mặt phẳng $(R) : 2 x - y - 2 z + 8 = 0$ . Mặt phẳng (Q) đi qua điểm $A (0; - 2; 0)$ và vuông góc với trục của hình nón chia hình nón thành hai phần có thể tích lần lượt là $V_{1}$ và $V_{2}$ ( $V_{1}$ là thể tích của hình nón chứa đỉnh I ). Biết bằng biểu thức $S = V_{2} + \frac{78}{V_{1}^{3}}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $V_{1} = a$ , $V_{2} = b$ . Khi đó tổng $a^{2} + b^{2}$ bằng

A. $52 \sqrt{3} π^{2}$

B. $377 \sqrt{3}$

C. 2031

D. $2031 π^{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Trong không gian Oxyz , cho hình nón có đỉnh I thuộc mặt phẳng (ảnh 1)

Dễ thấy

(P) // (R)

, gọi O là tâm của đường tròn đáy hình nón,

O^{'} = I O \cap (Q)

, từ giả thiết ta có

I O^{'} = d (A, (P)) = \frac{5}{3}

;

O O^{'} = d (A, (R)) = \frac{10}{3}

suy ra

O O^{'} = 2 I O^{'}

.
Gọi M là điểm thuộc đường tròn (O),

M^{'} = I M \cap (Q)

, do

O^{'} M^{'} // O M

nên

\frac{I O^{'}}{I O} = \frac{O^{'} M^{'}}{O M} = \frac{1}{3}

.
Do đó

r_{2} = 3 r_{1}

, (trong đó

r_{1}

và

r_{2}

lần lượt là bán kính của các đường tròn

(O^{'})

và

(O)

). Đặt

I O^{'} = h

, khi đó

\frac{V_{1}}{V} = \frac{\frac{1}{3} π r_{1}^{2} h}{\frac{1}{3} π {(3 r_{1})}^{2} .3 h} = \frac{1}{27} \Rightarrow V = 27 V_{1} \Rightarrow V_{2} = V - V_{1} = 26 V_{1}

S = V_{2} + \frac{78}{V_{1}^{3}} = 26 V_{1} + \frac{78}{V_{1}^{3}} = \frac{26}{3} V_{1} + \frac{26}{3} V_{1} + \frac{26}{3} V_{1} + \frac{78}{V_{1}^{3}} \geq 4 \sqrt[4]{\frac{26}{3} V_{1} . \frac{26}{3} V_{1} . \frac{26}{3} V_{1} . \frac{78}{V_{1}^{3}}} = 4 \sqrt[4]{\frac{456976}{9}}

Dấu "=" xảy ra khi

\frac{26}{3} V_{1} = \frac{78}{V_{1}^{3}} \Leftrightarrow V_{1} = \sqrt{3}

. Suy ra

\{\begin{cases} a = \sqrt{3} \\ b = 26 \sqrt{3} \end{cases}

.
Vậy

a^{2} + b^{2} = 3 + 26^{2} .3 = 2031

Chọn đáp án C

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian Oxyz, đường thẳng Oy có phương trình tham số là

A. $\{\begin{cases} x = 0 \\ y = 2 + t \\ z = 0 \end{cases} (t \in ℝ)$

B. $\{\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \\ z = t \end{cases} (t \in ℝ)$

C. $\{\begin{cases} x = t \\ y = 0 \\ z = 0 \end{cases} (t \in ℝ)$

D. $\{\begin{cases} x = t \\ y = t \\ z = t \end{cases} (t \in ℝ) f$

Lời giải

Đường thẳng Oy đi qua điểm

A (0; 2; 0)

và nhận vectơ đơn vị

\vec{j} = (0; 1; 0)

làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là

\{\begin{cases} x = 0 + 0. t \\ y = 2 + 1. t \\ z = 0 + 0. t \end{cases} (t \in ℝ) \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ y = 2 + t \\ z = 0 \end{cases} (t \in ℝ)

Chọn đáp án A

Câu 2

Cho hàm số f(x).Biết $f (0) = 4$ và $f^{'} (x) = 2 \cos^{2} x + 3, \forall x \in ℝ$ , khi đó $\int_{0}^{\frac{π}{4}} f (x) d x$ bằng?

A. $\frac{π^{2} + 2}{8}$

B. $\frac{π^{2} + 8 π + 8}{8}$

C. $\frac{π^{2} + 8 π + 2}{8}$

D. $\frac{π^{2} + 6 π + 8}{8}$

Lời giải

Ta có

f (x) = \int f^{^{,}} (x) d x = \int (2 \cos^{2} x + 3) d x = \int (2. \frac{1 + \cos 2 x}{2} + 3) d x

.
=

= \int (\cos 2 x + 4) d x \frac{1}{2} \sin 2 x + 4 x + C

f (0) = 4 \Rightarrow C = 4

.
Vậy

f (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x + 4 x + 4

nên

\int_{0}^{\frac{π}{4}} f (x) d x = \int_{0}^{\frac{π}{4}} (\frac{1}{2} \sin 2 x + 4 x + 4) d x

= {(- \frac{1}{4} \cos 2 x + 2 x^{2} + 4 x)|}_{0}^{\frac{π}{4}} = \frac{π^{2} + 8 π + 2}{8}

Chọn đáp án C

Câu 3

Bồn hoa của một trường X có dạng hình tròn bán kính bằng 8m. Người ta chia bồn hoa thành các phần như hình vẽ dưới đây và có ý định trồng hoa như sau: Phần diện tích bên trong hình vuông ABCD để trồng hoa. Phần diện tích kéo dài từ 4 cạnh của hình vuông đến đường tròn dùng để trồng cỏ. Ở 4 góc còn lại mỗi góc trồng một cây cọ. Biết AB = 4m, giá trồng hoa là 200.000 đ/m2, giá trồng cỏ là 100.000 đ/m2, mỗi cây cọ giá 150.000đ. hỏi cần bao nhiêu tiền để thực hiện việc trang trí bồn hoa đó

A. 14.465.000 đồng

B. 14.865.000 đồng

C. 13.265.000 đồng

D. 12.218.000 đồng

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi từ một hộp chứa 2 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Xác suất để chọn được 2 viên bi xanh là

A. $\frac{3}{25}$

B. $\frac{2}{5}$

C. $\frac{3}{10}$

D. $\frac{7}{10}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f' (x) = {(x - 2)}^{2} (x - 1) x^{3}, \forall x \in ℝ$ . Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

A. 2

B. 1

C. 3

D. 0

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Tập nghiệm của phương trình $2^{x^{2} - x - 4} = \frac{1}{16}$ là

A. $ϕ$

B. $\{2; 4\}$

C. $\{- 2; 2\}$

D. $\{0; 1\}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Trong không gian với hệ trục Oxyz, đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau $d_{1} : \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z + 4}{- 5}$ và $d_{2} : \frac{x + 1}{3} = \frac{y - 4}{- 2} = \frac{z - 4}{- 1}$ có phương trình

A. $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{4}$

B. $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{1}$

C. $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 3}{2}$

D. $\frac{x}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{- 1}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Cho hàm số f(x).Biết $f (0) = 4$ và $f^{'} (x) = 2 \cos^{2} x + 3, \forall x \in ℝ$ , khi đó $\int_{0}^{\frac{π}{4}} f (x) d x$ bằng?

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f' (x) = {(x - 2)}^{2} (x - 1) x^{3}, \forall x \in ℝ$ . Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

Tập nghiệm của phương trình $2^{x^{2} - x - 4} = \frac{1}{16}$ là