Cho hàm số y = f(x) là hàm số chẵn và xác định trên $ℝ$, sao cho $f\left(0\right)\ne 0$ và phương trình $5^x-5^{-x}=f\left(x\right)$ có đúng 5 nghiệm phân biệt. Khi đó số nghiệm của phương trình $5^x+5^{-x}=f^2\left(\frac{x}{2}\right)+2$ là

Ta có $5^x+5^{-x}=f^2\left(\frac{x}{2}\right)+2\iff f^2\left(\frac{x}{2}\right)=5^x+5^{-x}-2=\left(5^{\frac{x}{2}}-5^{-\frac{x}{2}}\right)$

$\iff \left[\begin{array}{l}f\left(\frac{x}{2}\right)=5^{\frac{x}{2}}-5^{-\frac{x}{2}}\\ f\left(\frac{x}{2}\right)=5^{-\frac{x}{2}}-5^{\frac{x}{2}}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}f\left(t\right)=5^t-5^{-t}\\ f\left(t\right)=5^{-t}-5^t\end{array}\right.$ (với $t=\frac{x}{2}$).

Do f(x) là hàm số chẵn và xác định trên $ℝ$ nên $f\left(x\right)=f\left(-x\right),\forall x\in ℝ$

Khi đó từ phương trình $5^x-5^{-x}=f\left(x\right),$ thay x bởi -x ta được $f\left(-x\right)=f\left(x\right)=5^{-x}-5^x.$

Vì phương trình $5^x-5^{-x}=f\left(x\right)$ có đúng 5 nghiệm phân biệt nên phương trình $f\left(x\right)=5^{-x}-5^x$ cũng có đúng 5 nghiệm phân biệt.

Suy ra phương trình $f\left(t\right)=5^t-5^{-t}$ có 5 nghiệm phân biệt $t_1,t_2,\mathrm{...}{t}_5$ và phương trình $f\left(t\right)=5^{-t}-5^t$ cũng có 5 nghiệm phân biệt $t_6,t_7,\mathrm{...},t_{10}\left(*\right)$.

Giả sử phương trình $5^x-5^{-x}=f\left(x\right)$ và $5^{-x}-5^x=f\left(x\right)$ có nghiệm chung $x=x_0$

Khi đó $\left\{\begin{array}{l}f\left(x_0\right)=5^{x_0}-5^{-x_0}\left(1\right)\\ f\left(x_0\right)=5^{-x_0}-5^{x_0}\left(2\right)\end{array}\right..$

Lấy (1) - (2) ta được $2\left(5^{x_0}-5^{-x_0}\right)=0\iff 5^{x_0}=5^{-x_0}\iff x_0=0$

Lấy (1) + (2) ta được $2f\left(x_0\right)=0\iff f\left(x_0\right)=0.$

Suy ra $x_0=0$ là nghiệm của phương trình f(x) = 0 hay f(0) = 0 (mâu thuẫn với giả thiết).

Suy ra hai phương trình $f\left(t\right)=5^t-5^{-t}$ và $f\left(t\right)=5^{-t}-5^t$ không có nghiệm chung (**).

Từ (*) và (**) ta suy ra phương trình $5^x+5^{-x}=f^2\left(\frac{x}{2}\right)+2$ có tổng cộng 10 nghiệm phân biệt.

Chọn C.