Câu hỏi:

09/04/2022 933

Cho hàm số y = f(x) là hàm số chẵn và xác định trên $ℝ$ , sao cho $f (0) \neq 0$ và phương trình $5^{x} - 5^{- x} = f (x)$ có đúng 5 nghiệm phân biệt. Khi đó số nghiệm của phương trình $5^{x} + 5^{- x} = f^{2} (\frac{x}{2}) + 2$ là

A. 5

B. 15

C. 10

D. 20

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (30 đề) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có $5^{x} + 5^{- x} = f^{2} (\frac{x}{2}) + 2 \Leftrightarrow f^{2} (\frac{x}{2}) = 5^{x} + 5^{- x} - 2 = (5^{\frac{x}{2}} - 5^{- \frac{x}{2}})$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (\frac{x}{2}) = 5^{\frac{x}{2}} - 5^{- \frac{x}{2}} \\ f (\frac{x}{2}) = 5^{- \frac{x}{2}} - 5^{\frac{x}{2}} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (t) = 5^{t} - 5^{- t} \\ f (t) = 5^{- t} - 5^{t} \end{array}$ (với $t = \frac{x}{2}$ ).

Do f(x) là hàm số chẵn và xác định trên $ℝ$ nên $f (x) = f (- x), \forall x \in ℝ$

Khi đó từ phương trình $5^{x} - 5^{- x} = f (x),$ thay x bởi -x ta được $f (- x) = f (x) = 5^{- x} - 5^{x} .$

Vì phương trình $5^{x} - 5^{- x} = f (x)$ có đúng 5 nghiệm phân biệt nên phương trình $f (x) = 5^{- x} - 5^{x}$ cũng có đúng 5 nghiệm phân biệt.

Suy ra phương trình $f (t) = 5^{t} - 5^{- t}$ có 5 nghiệm phân biệt $t_{1}, t_{2}, ... t_{5}$ và phương trình $f (t) = 5^{- t} - 5^{t}$ cũng có 5 nghiệm phân biệt $t_{6}, t_{7}, ..., t_{10} (*)$ .

Giả sử phương trình $5^{x} - 5^{- x} = f (x)$ và $5^{- x} - 5^{x} = f (x)$ có nghiệm chung $x = x_{0}$

Khi đó $\{\begin{cases} f (x_{0}) = 5^{x_{0}} - 5^{- x_{0}} (1) \\ f (x_{0}) = 5^{- x_{0}} - 5^{x_{0}} (2) \end{cases} .$

Lấy (1) - (2) ta được $2 (5^{x_{0}} - 5^{- x_{0}}) = 0 \Leftrightarrow 5^{x_{0}} = 5^{- x_{0}} \Leftrightarrow x_{0} = 0$

Lấy (1) + (2) ta được $2 f (x_{0}) = 0 \Leftrightarrow f (x_{0}) = 0.$

Suy ra $x_{0} = 0$ là nghiệm của phương trình f(x) = 0 hay f(0) = 0 (mâu thuẫn với giả thiết).

Suy ra hai phương trình $f (t) = 5^{t} - 5^{- t}$ và $f (t) = 5^{- t} - 5^{t}$ không có nghiệm chung (**).

Từ (*) và (**) ta suy ra phương trình $5^{x} + 5^{- x} = f^{2} (\frac{x}{2}) + 2$ có tổng cộng 10 nghiệm phân biệt.

Chọn C.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Anh A vay trả góp ngân hàng số tiền 500 triệu đồng với lãi suất 0,8%/tháng. Mỗi tháng trả 10 triệu đồng. Hỏi sau bao nhiêu tháng thì Anh A trả hết nợ, giả định trong khoảng thời gian này lãi suất ngân hàng và số tiền trả hàng tháng của anh A là không thay đổi.

A. 61

B. 60

C. 63

D. 65

Lời giải

Đây là bài toán vay vốn trả góp.

Áp dụng công thức tính số tiền còn lại sau n tháng vay $(n \in ℕ^{*})$ là:

$S_{n} = A {(1 + r)}^{n} - X \frac{{(1 + r)}^{n} - 1}{r} .$

Trong đó số tiền vay là A = 500 triệu đồng, lãi suất r = 0,8%tháng, số tiền trả hàng tháng là X = 10 triệu đồng. Ta có $S_{n} = 500 {(1 + 0, 8 %)}^{n} - 10. \frac{{(1 + 0, 8 %)}^{n} - 1}{0, 8 %}$

Để sau đúng n tháng hết nợ thì $S_{n} = 0 \Leftrightarrow 500 {(1 + 0, 8 %)}^{n} - 10. \frac{{(1 + 0, 8 %)}^{n} - 1}{0, 8 %} = 0.$

$\Leftrightarrow {(1 + 0, 8 %)}^{n} (500 - \frac{10}{0, 8 %}) = - \frac{10}{0, 8 %}$

$\Leftrightarrow {(1 + 0, 8 %)}^{n} = \frac{5}{3}$

$\Leftrightarrow n = \log_{1, 008} \frac{5}{3} ≃ 64, 11$

Vậy sau 65 tháng, anh A trả hết nợ ngân hàng.

Chọn D.

Câu 2

Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm f'(x)như sau:

Hàm số f(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Lời giải

Ta thấy f'(x) đổi dấu 2 lần nên hàm số y = f(x) có 2 điểm cực trị.

Chọn B.

Câu 3

Tập nghiệm S của bất phương trình ${(\frac{1}{2})}^{x^{2} - 4 x} < 8$ là

A. $S = (- \infty; 1) \cup (3; + \infty)$

B. $S = (1; + \infty)$

C. $S = (1; 3)$

D. $S = (- \infty; 3)$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3a tam giác SBC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đường thẳng SD tạo với mặt phẳng (SBC) một góc $60^{0}$ . Thể tích của khối chóp đã cho bằng

A. $2 a^{3} \sqrt{6} .$

B. $a^{3} \sqrt{6} .$

C. $3 a^{3} \sqrt{2} .$

D. $a^{3} \sqrt{3} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho số phức z thỏa mãn $z - 1 = \frac{z - 18}{z - 2}$ và có phần ảo âm. Mô đun của số phức $\frac{z + 4 i}{\bar{z} - 2 i}$ bằng

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{\sqrt{5}}{2}$

D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Tứ diện ABCD có $A B = A C = A D = a, \hat{B A C} = 120^{0}, \hat{B A D} = 60^{0}$ và tam giác BCD là tam giác vuông tại D. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

A. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{4} .$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{3} .$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{6} .$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số: $y = \frac{2 x - 3}{x - 2}$ là đường thẳng:

A. y = 2

B. $x = \frac{3}{2}$

C. x = -2

D. x = 2

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Cho hàm số y = f(x) là hàm số chẵn và xác định trên $ℝ$ , sao cho $f (0) \neq 0$ và phương trình $5^{x} - 5^{- x} = f (x)$ có đúng 5 nghiệm phân biệt. Khi đó số nghiệm của phương trình $5^{x} + 5^{- x} = f^{2} (\frac{x}{2}) + 2$ là

Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm f'(x)như sau:

Hàm số f(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

Tập nghiệm S của bất phương trình ${(\frac{1}{2})}^{x^{2} - 4 x} < 8$ là

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3a tam giác SBC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đường thẳng SD tạo với mặt phẳng (SBC) một góc $60^{0}$ . Thể tích của khối chóp đã cho bằng

Cho số phức z thỏa mãn $z - 1 = \frac{z - 18}{z - 2}$ và có phần ảo âm. Mô đun của số phức $\frac{z + 4 i}{\bar{z} - 2 i}$ bằng

Tứ diện ABCD có $A B = A C = A D = a, \hat{B A C} = 120^{0}, \hat{B A D} = 60^{0}$ và tam giác BCD là tam giác vuông tại D. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.