Trong không gian tọa độ Oxyz cho $A(2;1;0),\text{ B(}1;2;2\text{)},\text{ C}(1;1;0)$ và mặt phẳng $\left(P\right):x+y+z-32=0$. D là một điểm thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P). Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng CD

Cách 1:

(P) nhận $\overrightarrow{n}=\left(1;1;1\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Ta có: $\overrightarrow{AB}\left(-1;1;2\right)$

Đường thẳng AB qua A và nhận $\overrightarrow{AB}=\left(-1;1;2\right)$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình là: $\left\{\begin{array}{l}x=2-a\\ y=1+a\\ y=2a\end{array}\right.,a\in ℝ.$

Vì $D\in AB\Rightarrow D\left(2-a;1+a;2a\right)\Rightarrow \overrightarrow{CD}=\left(1-a;a;2a\right).$

Mặt khác, $CD//\left(P\right)\Rightarrow \overrightarrow{n}.\overrightarrow{CD}=0\iff 1-a+a+2a=0\iff a=-\frac{1}{2}\Rightarrow \overrightarrow{CD}=\left(\frac{3}{2};-\frac{1}{2};-1\right).$

Đường thẳng CD nhận $\overrightarrow{u}=\left(3;-1;-2\right)$ làm vectơ chỉ phương nên loại đáp án C.

Thay tọa độ điểm C vào phương trình các đường thẳng còn lại thấy tọa độ điểm C thỏa mãn đáp án D.

Cách 2:

(P) nhận $\overrightarrow{n}=\left(1;1;1\right)$ làm vectơ pháp tuyến. Để $CD//\left(P\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{u_{CD}}.\overrightarrow{n}=0\\ C\in CD\end{array}\right..$

- Kiểm tra đáp án A: Đường thẳng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=\left(3;-1;-2\right),$ có $\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{n}=0.$

Thay tọa độ C vào phương trình đường thẳng được: $\left\{\begin{array}{l}t=0\\ t=1\\ t=\frac{3}{2}\end{array}\right.\Rightarrow$ không thỏa mãn.

- Kiểm tra đáp án B: Đường thẳng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=\left(3;-1;-2\right),$ có $\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{n}=0.$

Thay tọa độ C vào phương trình đường thẳng được: $\left\{\begin{array}{l}t=-1\\ t=0\\ t=\frac{1}{2}\end{array}\right.\Rightarrow$ không thỏa mãn.

- Kiểm tra đáp án C: Đường thẳng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=\left(3;-1;2\right),$ có $\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{n}=4\ne 0\Rightarrow$ không thỏa mãn.

- Kiểm tra đáp án D: Đường thẳng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=\left(3;-1;-2\right),$ có $\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{n}=0.$

Thay tọa độ C vào phương trình đường thẳng được: $\left\{\begin{array}{l}t=-1\\ t=-1\\ t=-1\end{array}\right.\Rightarrow t=-1\Rightarrow$ thỏa mãn.

Chọn D.