Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đại hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {{x^2} - 4x} \right)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {2{x^2} - 12x + m} \right)\) có đúng 5 điểm cực trị?

\(g'\left( x \right) = \left( {4x - 12} \right).f'\left( {2{x^2} - 12x + m} \right)\)

\( = \left( {4x - 12} \right){\left( {2{x^2} - 12x + m + 1} \right)^2}\left( {2{x^2} - 12x + m} \right)\left( {2{x^2} - 12x + m - 4} \right)\)

Hàm số \(g\left( x \right)\) có đúng 5 điểm cực trị

\( \Leftrightarrow g'\left( x \right)\) đổi dấu 5 lần

\( \Leftrightarrow g'\left( x \right) = 0\) có 5 nghiệm đơn phân biệt

\( \Leftrightarrow \) phương trình \(2{x^2} - 12x + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác 3 và phương trình \(2{x^2} - 12x + m - 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác 3 và các nghiệm này khác nhau

Phương trình \(2{x^2} - 12x + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác 3 và phương trình \(3{x^2} - 12x + m - 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác 3.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta {'_1} >0\\\Delta {'_2} >0\\{2.3^2} - 12.3 + m \ne 0\\{2.3^2} - 12.3 + m - 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}36 - 2m >0\\36 - 2\left( {m - 4} \right) >0\\m \ne 18\\m \ne 22\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 18\)

Với điều kiện \(m < 18\) thì phương trình \(2{x^2} - 12x + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt là \(a;b\) và phương trình \(2{x^2} - 12x + m - 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt là \(c,d.\)

Theo Vi-ét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = c + d = 6\\a.b = m\\c.d = m - 4\end{array} \right.\)

Nếu \(a = c\) thì \(b = d\) (vì \(a + b = c + d = 6) \Rightarrow a.b = c.d \Leftrightarrow m = m - 4\) điều này là vô lí

Do đó các nghiệm của hai phương trình \(2{x^2} - 12x + m = 0\) và \(2{x^2} - 12x + m - 4 = 0\) luôn khác nhau.

Mà \(m\) là số nguyên dương nên \(m \in \left\{ {1;2;3;4...17} \right\}.\) Do đó có 17 giá trị \(m\) thỏa mãn bài toán.

Đáp án A