Cho số phức z thỏa mãn 1+iz+1−3i=32. Giá trị lớn nhất của biểu thứcP=z+2+i+6z−2−3i bằng A. 56 B. 151+6 C. 65 D. 10+315

Cách 11+iz+1−3i=32⇔1+iz+1−3i1+i=32⇔z−1+2i=3 1.Gọi OM→=x; y, OI→=1; 2 là vec-tơ biểu diễn cho các số phức z=x+iy, w=1+2i, .Từ (1) có OM→−OI→=3⇔MI=3.Suy ra M thuộc đường tròn (C) tâm I1; 2 bán kính R=3, C:x−12+y−23=9Gọi OA→=−2; −1, OB→=2; 3 lần lượt là vec-tơ biểu diễn cho số phức a=−2−i, b=2+3i.Có IA→=−3; −3, IB→=1;1. Suy ra IA→=−3IB→⇔IA→+3IB→=0→.Lúc đó P=MA+6MB=MA+2.3MB≤3MA2+3MB2.Có MA2+3MB2=IA→−IM→2+3IB→−IM→2=4IM2+IA2+3IB2.Có IM2=9, IA2=18, IB2=2, nên MA2+3MB2=60.Suy ra P≤3.60=65.Có P=65⇔MA1=3MB2.Vậy giá trị lớn nhất của P là P=65. Cách 2.Giả sử Mx;y là điểm biểu diễn của số phức z khi đó 1+iz+1−3i=32⇔x−y+1+x+y−3i=32⇔x2+y2−2x−4y−4=0 ⇔x−12+y−22=9. Do đó M thuộc đường tròn tâm I (1;2), bán kính R = 3.Đặt a=x−1b=y−2Ta có a2+b2=9. Gọi A=−2; −1, B=2; 3P=z+2+i+6z−2−3i=MA+6MB=x+22+y+12+6x−22+y−32=a+32+b+32+6a−12+b−12=6a+b+27+6−2a+b+11=6a+b+27+2−6a+b+33≤1+227+33=65. Chọn đáp án C

Câu hỏi:

12/04/2022 241

Cho số phức z thỏa mãn $|(1 + i) z + 1 - 3 i| = 3 \sqrt{2}$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = |z + 2 + i| + \sqrt{6} |z - 2 - 3 i|$ bằng

A. $5 \sqrt{6}$

B. $\sqrt{15} (1 + \sqrt{6})$

C. $6 \sqrt{5}$

D. $\sqrt{10} + 3 \sqrt{15}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho số phức z thỏa mãn |(1+i)z+1-3i|=3 căn bậc hai 2 . Giá trị lớn nhất (ảnh 1)

Cách 1

|(1 + i) z + 1 - 3 i| = 3 \sqrt{2} \Leftrightarrow |1 + i| |z + \frac{1 - 3 i}{1 + i}| = 3 \sqrt{2} \Leftrightarrow |z - (1 + 2 i)| = 3 (1)

.
Gọi

\vec{O M} = (x; y), \vec{O I} = (1; 2)

là vec-tơ biểu diễn cho các số phức

z = x + i y, w = 1 + 2 i

, .
Từ (1) có

|\vec{O M} - \vec{O I}| = 3 \Leftrightarrow M I = 3

.
Suy ra M thuộc đường tròn (C) tâm

I (1; 2)

bán kính

R = 3

(C) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{3} = 9

Gọi

\vec{O A} = (- 2; - 1)

\vec{O B} = (2; 3)

lần lượt là vec-tơ biểu diễn cho số phức

a = - 2 - i

b = 2 + 3 i

.
Có

\vec{I A} = (- 3; - 3)

\vec{I B} = (1; 1)

. Suy ra

\vec{I A} = - 3 \vec{I B} \Leftrightarrow \vec{I A} + 3 \vec{I B} = \vec{0}

.
Lúc đó

P = M A + \sqrt{6} M B = M A + \sqrt{2} . \sqrt{3} M B

\leq \sqrt{3 (M A^{2} + 3 M B^{2})}

.
Có

M A^{2} + 3 M B^{2} = {(\vec{I A} - \vec{I M})}^{2} + 3 {(\vec{I B} - \vec{I M})}^{2} = 4 I M^{2} + I A^{2} + 3 I B^{2}

.
Có

I M^{2} = 9

I A^{2} = 18

I B^{2} = 2

, nên

M A^{2} + 3 M B^{2} = 60

.
Suy ra

P \leq \sqrt{3.60} = 6 \sqrt{5}

.
Có

P = 6 \sqrt{5} \Leftrightarrow \frac{M A}{1} = \frac{\sqrt{3} M B}{\sqrt{2}}

.
Vậy giá trị lớn nhất của P là

P = 6 \sqrt{5}

Cách 2.
Giả sử

M (x; y)

là điểm biểu diễn của số phức z khi đó

|(1 + i) z + 1 - 3 i| = 3 \sqrt{2} \Leftrightarrow |x - y + 1 + (x + y - 3) i| = 3 \sqrt{2} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 4 = 0

\Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9

. Do đó M thuộc đường tròn tâm I (1;2), bán kính R = 3.
Đặt

\{\begin{cases} a = x - 1 \\ b = y - 2 \end{cases}

Ta có

a^{2} + b^{2} = 9

. Gọi

A = (- 2; - 1), B = (2; 3)

P = |z + 2 + i| + \sqrt{6} |z - 2 - 3 i| = M A + \sqrt{6} M B = \sqrt{{(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2}} + \sqrt{6 [{(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2}]}

= \sqrt{{(a + 3)}^{2} + {(b + 3)}^{2}} + \sqrt{6 [{(a - 1)}^{2} + {(b - 1)}^{2}]} = \sqrt{6 (a + b) + 27} + \sqrt{6} \sqrt{(- 2) (a + b) + 11}

= \sqrt{6 (a + b) + 27} + \sqrt{2} \sqrt{(- 6) (a + b) + 33} \leq \sqrt{(1 + 2) (27 + 33)} = 6 \sqrt{5}

Chọn đáp án C

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian Oxyz cho điểm $A (1; - 2; 3)$ và hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 3}{1}; d_{2} : x = 1 - t, y = 2 t, z = 1$ . Viết phương trình đường thẳng $Δ$ đi qua A, vuông góc với cả $d_{1}$ và $d_{2}$ .

A. $\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = - 2 + t \\ z = 3 - 3 t \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = - 2 + t \\ y = - 1 - 2 t \\ z = 3 + 3 t \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = - 2 - t \\ z = 3 + t \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - 2 - t \\ z = 3 - t \end{cases}$

Lời giải

Đường thẳng

d_{1}

có véctơ chỉ phương

\vec{u_{1}} = (2; - 1; 1)

;

d_{2}

có véctơ chỉ phương

\vec{u_{2}} = (- 1; 2; 0)

.
Ta có:

\vec{u} = [\vec{u_{2}}; \vec{u_{1}}] = (2; 1; - 3)

.
Vì đường thẳng

Δ

đi qua A, vuông góc với cả

d_{1}

và

d_{2}

nên

Δ

nhận

\vec{u} = (2; 1; - 3)

làm véctơ chỉ phương, do đó

Δ

có phương trình là

\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = - 2 + t \\ z = 3 - 3 t \end{cases}

Chọn đáp án A

Câu 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A (2; 1; 1)$ và hai đường thẳng $d_{1} : \{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 1 \\ z = 2 - t \end{cases}$ , $d_{2} : \{\begin{cases} x = 3 + 2 t^{'} \\ y = 3 + t^{'} \\ z = 0 \end{cases}$ . Phương trình đường thẳng đi qua A vuông góc với $d_{1}$ và cắt $d_{2}$ là

A. $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{2} .$

B. $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 1}{- 1}$

C. $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{2}$

D. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{1}$

Lời giải

Đường thẳng

d_{1}

có VTCP

\vec{u_{d_{1}}} = (1; 0; - 1)

.
Giả sử (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với

d_{1} \Rightarrow (P) : x - 2 - z + 1 = 0 \Leftrightarrow x - z - 1 = 0

Gọi B là giao điểm của (P) và

d_{2} .

Tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình:

\{\begin{cases} x = 3 + 2 t^{'} \\ y = 3 + t^{'} \\ z = 0 \\ x - z - 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t^{'} = - 1 \\ x = 1 \\ y = 2 \\ z = 0 \end{cases} \Rightarrow B (1; 2; 0)

.
Đường thẳng cần tìm là đường thẳng AB
Ta có

\vec{A B} = (- 1; 1; - 1)

hay VTCP của đường thẳng cần tìm là

\vec{u} = (1; - 1; 1)

Đường thẳng cần tìm đi qua

B (1; 2; 0)

và có VTCP là

\vec{u} = (1; - 1; 1)

Suy ra phương trình đường thẳng cần tìm:

\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{1}

.
Cách 2: (AD: Nguyễn Văn Thịnh)
Gọi

Δ

là đường thẳng cần tìm.

Δ

cắt

d_{2}

tại B.
Ta có

B \in d_{2} \Rightarrow B (3 + 2 t^{'}; 3 + t^{'}; 0)

.
Đường thẳng

Δ

có vectơ chỉ phương là

\vec{A B} = (1 + 2 t^{'}; 2 + t^{'}; - 1)

d_{1}

có vectơ chỉ phương là

\vec{u_{1}} = (1; 0; - 1)

.
Ta có

Δ ⊥ d_{1} \Leftrightarrow \vec{A B} ⊥ \vec{u_{1}} \Leftrightarrow \vec{A B} . \vec{u_{1}} = 0 \Leftrightarrow 1 + 2 t^{'} + 0 + 1 = 0 \Leftrightarrow t^{'} = - 1

. Suy ra

\vec{A B} = (- 1; 1; - 1)

Đường thẳng cần tìm đi qua

B (1; 2; 0)

và có VTCP là

\vec{u} = (1; - 1; 1)

Suy ra phương trình đường thẳng cần tìm:

\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{1}

Chọn đáp án D

Câu 3

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên đoạn $[e; e^{2}]$ . Biết $x^{2} f^{'} (x) \cdot \ln x - x f (x) + \ln^{2} x = 0, \forall x \in [e; e^{2}]$ và $f (e) = \frac{1}{e}$ . Tính tích phân $I = \int_{e}^{e^{2}} f (x) d x$ .

A. $I = \ln 2$

B. $I = 2$

C. $I = \frac{3}{2}$

D. $I = 3$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Khối trụ có bán kính đáy bằng a và chiều cao bằng 2a có thể tích là

A. $2 a^{3}$

B. $2 π a^{3}$

C. $\frac{1}{3} π a^{3}$

D. $π a^{3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Tập nghiệm của phương trình $\log_{2} (x^{2} - 1) = \log_{2} (2 x)$ là

A. $S = \{1 + \sqrt{2}; 1 - \sqrt{2}\}$

B. $S = \{2; 4\}$

C. $S = \{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}\}$

D. $S = \{1 + \sqrt{2}\}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Rút gọn biểu thức $P = x^{\frac{3}{2}} . \sqrt[5]{x}$

A. $x^{\frac{13}{2}}$

B. $x^{\frac{4}{7}}$

C. $x^{\frac{3}{10}}$

D. $x^{\frac{17}{10}}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Ba số $a + \log_{2} 3; a + \log_{4} 3;; a + \log_{8} 3$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Công bội của cấp số nhân này bằng

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{3}$

C. 1

D. $\frac{1}{4}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho số phức z thỏa mãn 1+iz+1−3i=32. Giá trị lớn nhất của biểu thứcP=z+2+i+6z−2−3i bằng

Trong không gian Oxyz cho điểm A1;−2;3 và hai đường thẳng d1:x−12=y−1=z+31; d2:x=1−t, y=2t, z=1. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A, vuông góc với cả d1 và d2.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A2;1;1 và hai đường thẳng d1:x=3+ty=1z=2−t, d2:x=3+2t'y=3+t'z=0. Phương trình đường thẳng đi qua A vuông góc với d1 và cắt d2 là

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn e ; e2. Biết x2f'(x)⋅lnx−xf(x)+ln2x=0,∀x∈e;e2 và f(e)=1e. Tính tích phân I=∫ee2f(x)dx.

Khối trụ có bán kính đáy bằng a và chiều cao bằng 2a có thể tích là

Tập nghiệm của phương trình log2x2−1=log22x là

Rút gọn biểu thức P=x32.x5

Ba số a+log23; a+log43; ;a+log83 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Công bội của cấp số nhân này bằng

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho số phức z thỏa mãn $|(1 + i) z + 1 - 3 i| = 3 \sqrt{2}$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = |z + 2 + i| + \sqrt{6} |z - 2 - 3 i|$ bằng

Trong không gian Oxyz cho điểm $A (1; - 2; 3)$ và hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 3}{1}; d_{2} : x = 1 - t, y = 2 t, z = 1$ . Viết phương trình đường thẳng $Δ$ đi qua A, vuông góc với cả $d_{1}$ và $d_{2}$ .

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên đoạn $[e; e^{2}]$ . Biết $x^{2} f^{'} (x) \cdot \ln x - x f (x) + \ln^{2} x = 0, \forall x \in [e; e^{2}]$ và $f (e) = \frac{1}{e}$ . Tính tích phân $I = \int_{e}^{e^{2}} f (x) d x$ .

Tập nghiệm của phương trình $\log_{2} (x^{2} - 1) = \log_{2} (2 x)$ là

Rút gọn biểu thức $P = x^{\frac{3}{2}} . \sqrt[5]{x}$

Ba số $a + \log_{2} 3; a + \log_{4} 3;; a + \log_{8} 3$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Công bội của cấp số nhân này bằng