Cho số phức z thỏa mãn 1+iz+1−3i=32. Giá trị lớn nhất của biểu thứcP=z+2+i+6z−2−3i bằng A. 56 B. 151+6 C. 65 D. 10+315

Cách 11+iz+1−3i=32⇔1+iz+1−3i1+i=32⇔z−1+2i=3 1.Gọi OM→=x; y, OI→=1; 2 là vec-tơ biểu diễn cho các số phức z=x+iy, w=1+2i, .Từ (1) có OM→−OI→=3⇔MI=3.Suy ra M thuộc đường tròn (C) tâm I1; 2 bán kính R=3, C:x−12+y−23=9Gọi OA→=−2; −1, OB→=2; 3 lần lượt là vec-tơ biểu diễn cho số phức a=−2−i, b=2+3i.Có IA→=−3; −3, IB→=1;1. Suy ra IA→=−3IB→⇔IA→+3IB→=0→.Lúc đó P=MA+6MB=MA+2.3MB≤3MA2+3MB2.Có MA2+3MB2=IA→−IM→2+3IB→−IM→2=4IM2+IA2+3IB2.Có IM2=9, IA2=18, IB2=2, nên MA2+3MB2=60.Suy ra P≤3.60=65.Có P=65⇔MA1=3MB2.Vậy giá trị lớn nhất của P là P=65. Cách 2.Giả sử Mx;y là điểm biểu diễn của số phức z khi đó 1+iz+1−3i=32⇔x−y+1+x+y−3i=32⇔x2+y2−2x−4y−4=0 ⇔x−12+y−22=9. Do đó M thuộc đường tròn tâm I (1;2), bán kính R = 3.Đặt a=x−1b=y−2Ta có a2+b2=9. Gọi A=−2; −1, B=2; 3P=z+2+i+6z−2−3i=MA+6MB=x+22+y+12+6x−22+y−32=a+32+b+32+6a−12+b−12=6a+b+27+6−2a+b+11=6a+b+27+2−6a+b+33≤1+227+33=65. Chọn đáp án C

Câu hỏi:

12/04/2022 346

Cho số phức z thỏa mãn $|(1 + i) z + 1 - 3 i| = 3 \sqrt{2}$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = |z + 2 + i| + \sqrt{6} |z - 2 - 3 i|$ bằng

A. $5 \sqrt{6}$

B. $\sqrt{15} (1 + \sqrt{6})$

C. $6 \sqrt{5}$

D. $\sqrt{10} + 3 \sqrt{15}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho số phức z thỏa mãn |(1+i)z+1-3i|=3 căn bậc hai 2 . Giá trị lớn nhất (ảnh 1)

Cách 1

|(1 + i) z + 1 - 3 i| = 3 \sqrt{2} \Leftrightarrow |1 + i| |z + \frac{1 - 3 i}{1 + i}| = 3 \sqrt{2} \Leftrightarrow |z - (1 + 2 i)| = 3 (1)

.
Gọi

\vec{O M} = (x; y), \vec{O I} = (1; 2)

là vec-tơ biểu diễn cho các số phức

z = x + i y, w = 1 + 2 i

, .
Từ (1) có

|\vec{O M} - \vec{O I}| = 3 \Leftrightarrow M I = 3

.
Suy ra M thuộc đường tròn (C) tâm

I (1; 2)

bán kính

R = 3

(C) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{3} = 9

Gọi

\vec{O A} = (- 2; - 1)

\vec{O B} = (2; 3)

lần lượt là vec-tơ biểu diễn cho số phức

a = - 2 - i

b = 2 + 3 i

.
Có

\vec{I A} = (- 3; - 3)

\vec{I B} = (1; 1)

. Suy ra

\vec{I A} = - 3 \vec{I B} \Leftrightarrow \vec{I A} + 3 \vec{I B} = \vec{0}

.
Lúc đó

P = M A + \sqrt{6} M B = M A + \sqrt{2} . \sqrt{3} M B

\leq \sqrt{3 (M A^{2} + 3 M B^{2})}

.
Có

M A^{2} + 3 M B^{2} = {(\vec{I A} - \vec{I M})}^{2} + 3 {(\vec{I B} - \vec{I M})}^{2} = 4 I M^{2} + I A^{2} + 3 I B^{2}

.
Có

I M^{2} = 9

I A^{2} = 18

I B^{2} = 2

, nên

M A^{2} + 3 M B^{2} = 60

.
Suy ra

P \leq \sqrt{3.60} = 6 \sqrt{5}

.
Có

P = 6 \sqrt{5} \Leftrightarrow \frac{M A}{1} = \frac{\sqrt{3} M B}{\sqrt{2}}

.
Vậy giá trị lớn nhất của P là

P = 6 \sqrt{5}

Cách 2.
Giả sử

M (x; y)

là điểm biểu diễn của số phức z khi đó

|(1 + i) z + 1 - 3 i| = 3 \sqrt{2} \Leftrightarrow |x - y + 1 + (x + y - 3) i| = 3 \sqrt{2} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 4 = 0

\Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9

. Do đó M thuộc đường tròn tâm I (1;2), bán kính R = 3.
Đặt

\{\begin{cases} a = x - 1 \\ b = y - 2 \end{cases}

Ta có

a^{2} + b^{2} = 9

. Gọi

A = (- 2; - 1), B = (2; 3)

P = |z + 2 + i| + \sqrt{6} |z - 2 - 3 i| = M A + \sqrt{6} M B = \sqrt{{(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2}} + \sqrt{6 [{(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2}]}

= \sqrt{{(a + 3)}^{2} + {(b + 3)}^{2}} + \sqrt{6 [{(a - 1)}^{2} + {(b - 1)}^{2}]} = \sqrt{6 (a + b) + 27} + \sqrt{6} \sqrt{(- 2) (a + b) + 11}

= \sqrt{6 (a + b) + 27} + \sqrt{2} \sqrt{(- 6) (a + b) + 33} \leq \sqrt{(1 + 2) (27 + 33)} = 6 \sqrt{5}

Chọn đáp án C

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A (2; 1; 1)$ và hai đường thẳng $d_{1} : \{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 1 \\ z = 2 - t \end{cases}$ , $d_{2} : \{\begin{cases} x = 3 + 2 t^{'} \\ y = 3 + t^{'} \\ z = 0 \end{cases}$ . Phương trình đường thẳng đi qua A vuông góc với $d_{1}$ và cắt $d_{2}$ là

A. $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{2} .$

B. $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 1}{- 1}$

C. $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{2}$

D. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{1}$

Lời giải

Đường thẳng

d_{1}

có VTCP

\vec{u_{d_{1}}} = (1; 0; - 1)

.
Giả sử (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với

d_{1} \Rightarrow (P) : x - 2 - z + 1 = 0 \Leftrightarrow x - z - 1 = 0

Gọi B là giao điểm của (P) và

d_{2} .

Tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình:

\{\begin{cases} x = 3 + 2 t^{'} \\ y = 3 + t^{'} \\ z = 0 \\ x - z - 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t^{'} = - 1 \\ x = 1 \\ y = 2 \\ z = 0 \end{cases} \Rightarrow B (1; 2; 0)

.
Đường thẳng cần tìm là đường thẳng AB
Ta có

\vec{A B} = (- 1; 1; - 1)

hay VTCP của đường thẳng cần tìm là

\vec{u} = (1; - 1; 1)

Đường thẳng cần tìm đi qua

B (1; 2; 0)

và có VTCP là

\vec{u} = (1; - 1; 1)

Suy ra phương trình đường thẳng cần tìm:

\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{1}

.
Cách 2: (AD: Nguyễn Văn Thịnh)
Gọi

Δ

là đường thẳng cần tìm.

Δ

cắt

d_{2}

tại B.
Ta có

B \in d_{2} \Rightarrow B (3 + 2 t^{'}; 3 + t^{'}; 0)

.
Đường thẳng

Δ

có vectơ chỉ phương là

\vec{A B} = (1 + 2 t^{'}; 2 + t^{'}; - 1)

d_{1}

có vectơ chỉ phương là

\vec{u_{1}} = (1; 0; - 1)

.
Ta có

Δ ⊥ d_{1} \Leftrightarrow \vec{A B} ⊥ \vec{u_{1}} \Leftrightarrow \vec{A B} . \vec{u_{1}} = 0 \Leftrightarrow 1 + 2 t^{'} + 0 + 1 = 0 \Leftrightarrow t^{'} = - 1

. Suy ra

\vec{A B} = (- 1; 1; - 1)

Đường thẳng cần tìm đi qua

B (1; 2; 0)

và có VTCP là

\vec{u} = (1; - 1; 1)

Suy ra phương trình đường thẳng cần tìm:

\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{1}

Chọn đáp án D

Câu 2

Trong không gian Oxyz cho điểm $A (1; - 2; 3)$ và hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 3}{1}; d_{2} : x = 1 - t, y = 2 t, z = 1$ . Viết phương trình đường thẳng $Δ$ đi qua A, vuông góc với cả $d_{1}$ và $d_{2}$ .

A. $\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = - 2 + t \\ z = 3 - 3 t \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = - 2 + t \\ y = - 1 - 2 t \\ z = 3 + 3 t \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = - 2 - t \\ z = 3 + t \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - 2 - t \\ z = 3 - t \end{cases}$

Lời giải

Đường thẳng

d_{1}

có véctơ chỉ phương

\vec{u_{1}} = (2; - 1; 1)

;

d_{2}

có véctơ chỉ phương

\vec{u_{2}} = (- 1; 2; 0)

.
Ta có:

\vec{u} = [\vec{u_{2}}; \vec{u_{1}}] = (2; 1; - 3)

.
Vì đường thẳng

Δ

đi qua A, vuông góc với cả

d_{1}

và

d_{2}

nên

Δ

nhận

\vec{u} = (2; 1; - 3)

làm véctơ chỉ phương, do đó

Δ

có phương trình là

\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = - 2 + t \\ z = 3 - 3 t \end{cases}

Chọn đáp án A

Câu 3

Ba số $a + \log_{2} 3; a + \log_{4} 3;; a + \log_{8} 3$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Công bội của cấp số nhân này bằng

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{3}$

C. 1

D. $\frac{1}{4}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $[- 1; 2]$ liên tục trên . Đồ thị của hàm số $y = f^{'} (x)$ được cho như hình vẽ. Diện tích hình phẳng $(K), (H)$ lần lượt là $\frac{5}{12}$ và $\frac{8}{3}$ . Biết $f (- 1) = \frac{19}{12}$ . Tính $f (2)$ .

A. $f (2) = \frac{11}{6}$

B. $f (2) = \frac{23}{6}$

C. $f (2) = - \frac{2}{3}$

D. $f (2) = \frac{2}{3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên đoạn $[e; e^{2}]$ . Biết $x^{2} f^{'} (x) \cdot \ln x - x f (x) + \ln^{2} x = 0, \forall x \in [e; e^{2}]$ và $f (e) = \frac{1}{e}$ . Tính tích phân $I = \int_{e}^{e^{2}} f (x) d x$ .

A. $I = \ln 2$

B. $I = 2$

C. $I = \frac{3}{2}$

D. $I = 3$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Khối trụ có bán kính đáy bằng a và chiều cao bằng 2a có thể tích là

A. $2 a^{3}$

B. $2 π a^{3}$

C. $\frac{1}{3} π a^{3}$

D. $π a^{3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Tập nghiệm của phương trình $\log_{2} (x^{2} - 1) = \log_{2} (2 x)$ là

A. $S = \{1 + \sqrt{2}; 1 - \sqrt{2}\}$

B. $S = \{2; 4\}$

C. $S = \{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}\}$

D. $S = \{1 + \sqrt{2}\}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho số phức z thỏa mãn $|(1 + i) z + 1 - 3 i| = 3 \sqrt{2}$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = |z + 2 + i| + \sqrt{6} |z - 2 - 3 i|$ bằng

Trong không gian Oxyz cho điểm $A (1; - 2; 3)$ và hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 3}{1}; d_{2} : x = 1 - t, y = 2 t, z = 1$ . Viết phương trình đường thẳng $Δ$ đi qua A, vuông góc với cả $d_{1}$ và $d_{2}$ .

Ba số $a + \log_{2} 3; a + \log_{4} 3;; a + \log_{8} 3$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Công bội của cấp số nhân này bằng

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $[- 1; 2]$ liên tục trên . Đồ thị của hàm số $y = f^{'} (x)$ được cho như hình vẽ. Diện tích hình phẳng $(K), (H)$ lần lượt là $\frac{5}{12}$ và $\frac{8}{3}$ . Biết $f (- 1) = \frac{19}{12}$ . Tính $f (2)$ .

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên đoạn $[e; e^{2}]$ . Biết $x^{2} f^{'} (x) \cdot \ln x - x f (x) + \ln^{2} x = 0, \forall x \in [e; e^{2}]$ và $f (e) = \frac{1}{e}$ . Tính tích phân $I = \int_{e}^{e^{2}} f (x) d x$ .

Tập nghiệm của phương trình $\log_{2} (x^{2} - 1) = \log_{2} (2 x)$ là