Cho số phức z thỏa mãn 1+iz+1−3i=32. Giá trị lớn nhất của biểu thứcP=z+2+i+6z−2−3i bằng A. 56 B. 151+6 C. 65 D. 10+315

Cách 11+iz+1−3i=32⇔1+iz+1−3i1+i=32⇔z−1+2i=3 1.Gọi OM→=x; y, OI→=1; 2 là vec-tơ biểu diễn cho các số phức z=x+iy, w=1+2i, .Từ (1) có OM→−OI→=3⇔MI=3.Suy ra M thuộc đường tròn (C) tâm I1; 2 bán kính R=3, C:x−12+y−23=9Gọi OA→=−2; −1, OB→=2; 3 lần lượt là vec-tơ biểu diễn cho số phức a=−2−i, b=2+3i.Có IA→=−3; −3, IB→=1;1. Suy ra IA→=−3IB→⇔IA→+3IB→=0→.Lúc đó P=MA+6MB=MA+2.3MB≤3MA2+3MB2.Có MA2+3MB2=IA→−IM→2+3IB→−IM→2=4IM2+IA2+3IB2.Có IM2=9, IA2=18, IB2=2, nên MA2+3MB2=60.Suy ra P≤3.60=65.Có P=65⇔MA1=3MB2.Vậy giá trị lớn nhất của P là P=65. Cách 2.Giả sử Mx;y là điểm biểu diễn của số phức z khi đó 1+iz+1−3i=32⇔x−y+1+x+y−3i=32⇔x2+y2−2x−4y−4=0 ⇔x−12+y−22=9. Do đó M thuộc đường tròn tâm I (1;2), bán kính R = 3.Đặt a=x−1b=y−2Ta có a2+b2=9. Gọi A=−2; −1, B=2; 3P=z+2+i+6z−2−3i=MA+6MB=x+22+y+12+6x−22+y−32=a+32+b+32+6a−12+b−12=6a+b+27+6−2a+b+11=6a+b+27+2−6a+b+33≤1+227+33=65. Chọn đáp án C

Câu hỏi:

12/04/2022 204

Cho số phức z thỏa mãn $|(1 + i) z + 1 - 3 i| = 3 \sqrt{2}$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = |z + 2 + i| + \sqrt{6} |z - 2 - 3 i|$ bằng

A. $5 \sqrt{6}$

B. $\sqrt{15} (1 + \sqrt{6})$

C. $6 \sqrt{5}$

Đáp án chính xác

D. $\sqrt{10} + 3 \sqrt{15}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho số phức z thỏa mãn |(1+i)z+1-3i|=3 căn bậc hai 2 . Giá trị lớn nhất (ảnh 1)

Cách 1

|(1 + i) z + 1 - 3 i| = 3 \sqrt{2} \Leftrightarrow |1 + i| |z + \frac{1 - 3 i}{1 + i}| = 3 \sqrt{2} \Leftrightarrow |z - (1 + 2 i)| = 3 (1)

.
Gọi

\vec{O M} = (x; y), \vec{O I} = (1; 2)

là vec-tơ biểu diễn cho các số phức

z = x + i y, w = 1 + 2 i

, .
Từ (1) có

|\vec{O M} - \vec{O I}| = 3 \Leftrightarrow M I = 3

.
Suy ra M thuộc đường tròn (C) tâm

I (1; 2)

bán kính

R = 3

,

(C) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{3} = 9

Gọi

\vec{O A} = (- 2; - 1)

,

\vec{O B} = (2; 3)

lần lượt là vec-tơ biểu diễn cho số phức

a = - 2 - i

,

b = 2 + 3 i

.
Có

\vec{I A} = (- 3; - 3)

,

\vec{I B} = (1; 1)

. Suy ra

\vec{I A} = - 3 \vec{I B} \Leftrightarrow \vec{I A} + 3 \vec{I B} = \vec{0}

.
Lúc đó

P = M A + \sqrt{6} M B = M A + \sqrt{2} . \sqrt{3} M B

\leq \sqrt{3 (M A^{2} + 3 M B^{2})}

.
Có

M A^{2} + 3 M B^{2} = {(\vec{I A} - \vec{I M})}^{2} + 3 {(\vec{I B} - \vec{I M})}^{2} = 4 I M^{2} + I A^{2} + 3 I B^{2}

.
Có

I M^{2} = 9

,

I A^{2} = 18

,

I B^{2} = 2

, nên

M A^{2} + 3 M B^{2} = 60

.
Suy ra

P \leq \sqrt{3.60} = 6 \sqrt{5}

.
Có

P = 6 \sqrt{5} \Leftrightarrow \frac{M A}{1} = \frac{\sqrt{3} M B}{\sqrt{2}}

.
Vậy giá trị lớn nhất của P là

P = 6 \sqrt{5}

.

Cách 2.
Giả sử

M (x; y)

là điểm biểu diễn của số phức z khi đó

|(1 + i) z + 1 - 3 i| = 3 \sqrt{2} \Leftrightarrow |x - y + 1 + (x + y - 3) i| = 3 \sqrt{2} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 4 = 0

\Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9

. Do đó M thuộc đường tròn tâm I (1;2), bán kính R = 3.
Đặt

\{\begin{cases} a = x - 1 \\ b = y - 2 \end{cases}

Ta có

a^{2} + b^{2} = 9

. Gọi

A = (- 2; - 1), B = (2; 3)

P = |z + 2 + i| + \sqrt{6} |z - 2 - 3 i| = M A + \sqrt{6} M B = \sqrt{{(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2}} + \sqrt{6 [{(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2}]}

= \sqrt{{(a + 3)}^{2} + {(b + 3)}^{2}} + \sqrt{6 [{(a - 1)}^{2} + {(b - 1)}^{2}]} = \sqrt{6 (a + b) + 27} + \sqrt{6} \sqrt{(- 2) (a + b) + 11}

= \sqrt{6 (a + b) + 27} + \sqrt{2} \sqrt{(- 6) (a + b) + 33} \leq \sqrt{(1 + 2) (27 + 33)} = 6 \sqrt{5}

.

Chọn đáp án C

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Trong không gian Oxyz cho điểm $A (1; - 2; 3)$ và hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 3}{1}; d_{2} : x = 1 - t, y = 2 t, z = 1$ . Viết phương trình đường thẳng $Δ$ đi qua A, vuông góc với cả $d_{1}$ và $d_{2}$ .

A. $\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = - 2 + t \\ z = 3 - 3 t \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = - 2 + t \\ y = - 1 - 2 t \\ z = 3 + 3 t \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = - 2 - t \\ z = 3 + t \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - 2 - t \\ z = 3 - t \end{cases}$

Xem đáp án » 12/04/2022 1,730

Câu 2:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên đoạn $[e; e^{2}]$ . Biết $x^{2} f^{'} (x) \cdot \ln x - x f (x) + \ln^{2} x = 0, \forall x \in [e; e^{2}]$ và $f (e) = \frac{1}{e}$ . Tính tích phân $I = \int_{e}^{e^{2}} f (x) d x$ .

A. $I = \ln 2$

B. $I = 2$

C. $I = \frac{3}{2}$

D. $I = 3$

Xem đáp án » 12/04/2022 1,166

Câu 3:

Khối trụ có bán kính đáy bằng a và chiều cao bằng 2a có thể tích là

A. $2 a^{3}$

B. $2 π a^{3}$

C. $\frac{1}{3} π a^{3}$

D. $π a^{3}$

Xem đáp án » 12/04/2022 1,125

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A (2; 1; 1)$ và hai đường thẳng $d_{1} : \{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 1 \\ z = 2 - t \end{cases}$ , $d_{2} : \{\begin{cases} x = 3 + 2 t^{'} \\ y = 3 + t^{'} \\ z = 0 \end{cases}$ . Phương trình đường thẳng đi qua A vuông góc với $d_{1}$ và cắt $d_{2}$ là

A. $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{2} .$

B. $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 1}{- 1}$

C. $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{2}$

D. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{1}$

Xem đáp án » 12/04/2022 923

Câu 5:

Rút gọn biểu thức $P = x^{\frac{3}{2}} . \sqrt[5]{x}$

A. $x^{\frac{13}{2}}$

B. $x^{\frac{4}{7}}$

C. $x^{\frac{3}{10}}$

D. $x^{\frac{17}{10}}$

Xem đáp án » 12/04/2022 624

Câu 6:

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $I (1; 0; - 1)$ , $A (2; 2; - 3)$ . Mặt cầu (S) tâm I và đi qua điểm A có phương trình là:

A. ${(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 1)}^{2} = 9$

B. ${(x + 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9$

C. ${(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 1)}^{2} = 3$

D. ${(x + 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 3$

Xem đáp án » 12/04/2022 574

Câu 7:

Tập nghiệm của phương trình $\log_{2} (x^{2} - 1) = \log_{2} (2 x)$ là

A. $S = \{1 + \sqrt{2}; 1 - \sqrt{2}\}$

B. $S = \{2; 4\}$

C. $S = \{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}\}$

D. $S = \{1 + \sqrt{2}\}$

Xem đáp án » 12/04/2022 572

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho số phức z thỏa mãn $|(1 + i) z + 1 - 3 i| = 3 \sqrt{2}$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = |z + 2 + i| + \sqrt{6} |z - 2 - 3 i|$ bằng

Nhà sách VIETJACK:

Trong không gian Oxyz cho điểm $A (1; - 2; 3)$ và hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 3}{1}; d_{2} : x = 1 - t, y = 2 t, z = 1$ . Viết phương trình đường thẳng $Δ$ đi qua A, vuông góc với cả $d_{1}$ và $d_{2}$ .

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên đoạn $[e; e^{2}]$ . Biết $x^{2} f^{'} (x) \cdot \ln x - x f (x) + \ln^{2} x = 0, \forall x \in [e; e^{2}]$ và $f (e) = \frac{1}{e}$ . Tính tích phân $I = \int_{e}^{e^{2}} f (x) d x$ .

Khối trụ có bán kính đáy bằng a và chiều cao bằng 2a có thể tích là

Rút gọn biểu thức $P = x^{\frac{3}{2}} . \sqrt[5]{x}$

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $I (1; 0; - 1)$ , $A (2; 2; - 3)$ . Mặt cầu (S) tâm I và đi qua điểm A có phương trình là:

Tập nghiệm của phương trình $\log_{2} (x^{2} - 1) = \log_{2} (2 x)$ là

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Cho số phức z thỏa mãn 1+iz+1−3i=32. Giá trị lớn nhất của biểu thứcP=z+2+i+6z−2−3i bằng

Nhà sách VIETJACK:

Trong không gian Oxyz cho điểm A1;−2;3 và hai đường thẳng d1:x−12=y−1=z+31; d2:x=1−t, y=2t, z=1. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A, vuông góc với cả d1 và d2.

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn e ; e2. Biết x2f'(x)⋅lnx−xf(x)+ln2x=0,∀x∈e;e2 và f(e)=1e. Tính tích phân I=∫ee2f(x)dx.

Khối trụ có bán kính đáy bằng a và chiều cao bằng 2a có thể tích là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A2;1;1 và hai đường thẳng d1:x=3+ty=1z=2−t, d2:x=3+2t'y=3+t'z=0. Phương trình đường thẳng đi qua A vuông góc với d1 và cắt d2 là

Rút gọn biểu thức P=x32.x5

Trong không gian Oxyz, cho các điểm I1; 0; −1, A2; 2; −3. Mặt cầu (S) tâm I và đi qua điểm A có phương trình là:

Tập nghiệm của phương trình log2x2−1=log22x là

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho số phức z thỏa mãn $|(1 + i) z + 1 - 3 i| = 3 \sqrt{2}$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = |z + 2 + i| + \sqrt{6} |z - 2 - 3 i|$ bằng

Trong không gian Oxyz cho điểm $A (1; - 2; 3)$ và hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 3}{1}; d_{2} : x = 1 - t, y = 2 t, z = 1$ . Viết phương trình đường thẳng $Δ$ đi qua A, vuông góc với cả $d_{1}$ và $d_{2}$ .

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên đoạn $[e; e^{2}]$ . Biết $x^{2} f^{'} (x) \cdot \ln x - x f (x) + \ln^{2} x = 0, \forall x \in [e; e^{2}]$ và $f (e) = \frac{1}{e}$ . Tính tích phân $I = \int_{e}^{e^{2}} f (x) d x$ .

Rút gọn biểu thức $P = x^{\frac{3}{2}} . \sqrt[5]{x}$

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $I (1; 0; - 1)$ , $A (2; 2; - 3)$ . Mặt cầu (S) tâm I và đi qua điểm A có phương trình là:

Tập nghiệm của phương trình $\log_{2} (x^{2} - 1) = \log_{2} (2 x)$ là