Câu hỏi:

14/04/2022 2,507

Cho hình chóp $S . A B C D$ có SA vuông góc với mặt đáy và đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết $A B = 4 a, A D = 3 a, S B = 5 a$ . Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD).

A. $\frac{12 \sqrt{61} a}{61}$

B. $\frac{\sqrt{61} a}{12}$

C. $\frac{12 \sqrt{41} a}{41}$

D. $\frac{\sqrt{41} a}{12}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho hình chóp SABCD có SA vuông góc với mặt đáy và đáy ABCD (ảnh 1)

Ta có:

S A = \sqrt{S B^{2} - A B^{2}} = \sqrt{{(5 a)}^{2} - {(4 a)}^{2}} = 3 a

Cách 1:
Ta có

d (C, (S B D)) = d (A, (S B D)) = h

.
Tứ diện

A S B D

có các cạnh

A B, A D, A S

đôi một vuông góc với nhau và

A B = 4 a, A D = 3 a, A S = 3 a

nên ta có

\frac{1}{h^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A D^{2}} + \frac{1}{A S^{2}} = \frac{1}{16 a^{2}} + \frac{1}{9 a^{2}} + \frac{1}{9 a^{2}} = \frac{41}{144 a^{2}} \Rightarrow h = \frac{12 a \sqrt{41}}{41}

Vậy

d (C, (S B D)) = \frac{12 a \sqrt{41}}{41}

.
Cách 2:
Đặt hình chóp

S . A B C D

vào một hệ trục tọa độ Oxyz sao cho

A \equiv O

, AB nằm trên tia Ox, AD nằm trên tia Oy, AS nằm trên tia Oz. Các đỉnh của hình chóp có tọa độ là:

A (0; 0; 0), B (4 a; 0; 0), C (4 a; 3 a; 0), D (0; 3 a; 0), S (0; 0; 3 a)

Sử dụng phương trình mặt phẳng đoạn chắn, ta có phương trình mặt phẳng

(S B D)

là:

\frac{x}{4 a} + \frac{y}{3 a} + \frac{z}{3 a} = 1 \Leftrightarrow 3 x + 4 y + 4 z - 12 a = 0

Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD) ta có:

d (C; (S B D)) = \frac{|12 a + 12 a - 12 a|}{\sqrt{4^{2} + 3^{2} + 4^{2}}} = \frac{12 a}{\sqrt{41}} = \frac{12 \sqrt{41} a}{41}

Chọn đáp án C

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian Oxyz, cho điểm $A (2; 0; - 1)$ và mặt phẳng $(P) : x + y - 1 = 0$ . Đường thẳng đi qua A đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxyz) có phương trình là

A. $\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = - 1 \\ z = - t \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 1 + 2 t \\ z = - t \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 2 t \\ z = 1 - t \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = - t \\ z = - 1 \end{cases}$

Lời giải

Ta có:

{\vec{n}}_{(O x y)} = (1; 1; 0)

{\vec{n}}_{(O x y)} = (0; 0; 1)

.
Gọi d là đường thẳng đi qua A đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxy). Khi đó:

\{\begin{matrix} {\vec{u}}_{d} ⊥ {\vec{n}}_{(P)} \\ {\vec{u}}_{d} ⊥ {\vec{n}}_{(O x y)} \end{matrix} \Rightarrow {\vec{u}}_{d} = [{\vec{n}}_{(P)}, {\vec{n}}_{(O x y)}] = (1; - 1; 0)

. Vậy

d : \{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = - t \\ z = - 1 \end{cases}

Chọn đáp án D

Câu 2

Cho số phức z thay đổi thỏa mãn $|z + 1 - i| = 3$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = 2 |z - 4 + 5 i| + |z + 1 - 7 i|$ bằng $a \sqrt{b}$ . Tính $S = a + b$ ?

A. 20

B. 18

C. 24

D. 17

Lời giải

Gọi

z = x + y i, (x, y \in ℝ)

.
Ta có:

|z + 1 - i| = 3 \Leftrightarrow {(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 9 (C)

;
Suy ra, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn (C), có tâm là

I (- 1; 1)

và bán kính

R = 3

.
Ta có:

A = 2 |z - 4 + 5 i| + |z + 1 - 7 i| = 2 \sqrt{{(x - 4)}^{2} + {(y + 5)}^{2}} + \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y - 7)}^{2}}

= 2 \sqrt{{(x - 4)}^{2} + {(y + 5)}^{2}} + \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y - 7)}^{2} + 3 ({(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} - 9)}

= 2 \sqrt{{(x - 4)}^{2} + {(y + 5)}^{2}} + \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 4 y^{2} - 20 y + 29}

= 2 \sqrt{{(x - 4)}^{2} + {(y + 5)}^{2}} + 2 \sqrt{x^{2} + 2 x + y^{2} - 10 y + \frac{29}{4}}

= 2 (\sqrt{{(x - 4)}^{2} + {(y + 5)}^{2}} + \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{5}{2})}^{2}})

Cho số phức z thay đổi thỏa mãn |z+1-i|=3 . Giá trị nhỏ nhất (ảnh 1)

Gọi

M (x; y) \in (C)

\Rightarrow A = 2 |z - 4 + 5 i| + |z + 1 - 7 i| = 2 M A + M B, A (4; - 5); B (- 1; 7)

\Rightarrow A = 2 M A + M B = 2 (M A + M C), C (- 1; \frac{5}{2})

.
Ta có:

\vec{I C} = (0; \frac{3}{2}) \Rightarrow |\vec{I C}| = \frac{3}{2} < R_{(C)}

.
Suy ra, điểm C nằm trong đường tròn (C).
Vậy, đường thẳng AC cắt đường tròn (C) tại hai điểm.
Do đó, để

A = 2 (M A + M C)

đạt giá trị nhỏ nhất thì M phải nằm giữa hai điểm A và C.

\Rightarrow A = 2 (M A + M C) \geq 2 A C, A C = \frac{5 \sqrt{13}}{2}

\Rightarrow A \geq 5 \sqrt{13} = a \sqrt{b}

.
Vậy,

a + b = 18

Chọn đáp án B

Câu 3

Một mảnh vườn hoa có dạng hình tròn bán kính bằng 5m. Phần đất trồng hoa là phần tô trong hình vẽ bên. Kinh phí để trồng hoa là 50.000 đồng/ $m^{2} .$ Hỏi số tiền cần để trồng hoa trên diện tích phần đất đó là bao nhiêu, biết hai hình chữ nhật ABCD và $M N P Q$ có $A B = M Q = 5 m ?$

A. $3.533.058$ đồng

B. $3.641.528$ đồng

C. $3.641.529$ đồng

D. $3.533.057$ đồng

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Số nghiệm của phương trình $\log_{2} (x^{2} - 4 x) = 2$ bằng

A. 3

B. 1

C. 2

D. 4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Tập nghiệm của phương trình $2^{x} = - 1$ là

A. $\emptyset$

B. {1}

C. {2}

D. {0}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Biết $\int_{2}^{3} f (x) d x = 5.$ Khi đó $\int_{2}^{3} [3 - 5 f (x)] d x$ bằng:

A. -26

B. -15

C. -22

D. -28

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho hình chóp $S . A B C D$ có SA vuông góc với mặt đáy và đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết $A B = 4 a, A D = 3 a, S B = 5 a$ . Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD).

Trong không gian Oxyz, cho điểm $A (2; 0; - 1)$ và mặt phẳng $(P) : x + y - 1 = 0$ . Đường thẳng đi qua A đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxyz) có phương trình là

Cho số phức z thay đổi thỏa mãn $|z + 1 - i| = 3$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = 2 |z - 4 + 5 i| + |z + 1 - 7 i|$ bằng $a \sqrt{b}$ . Tính $S = a + b$ ?

Số nghiệm của phương trình $\log_{2} (x^{2} - 4 x) = 2$ bằng

Tập nghiệm của phương trình $2^{x} = - 1$ là

Biết $\int_{2}^{3} f (x) d x = 5.$ Khi đó $\int_{2}^{3} [3 - 5 f (x)] d x$ bằng: