Câu hỏi:

22/04/2022 299

Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2 a - 4 b = 4$ . Tính $P = a + 2 b + 3 c$ khi biểu thức $|2 a + b - 2 c + 7|$ đạt giá trị lớn nhất.

A. $P = 7$

B. $P = 3$

C. $P = - 3$

D. $P = - 7$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 35 đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn B

Cách 1: phương pháp đại số.

Ta có: $a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2 a - 4 b = 4 \Leftrightarrow {(a - 1)}^{2} + {(b - 2)}^{2} + c^{2} = 9$ .

Áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối và bất đẳng thức BCS, ta có kết quả sau:

\begin{array}{l} |2 a + b - 2 c + 7| = |2 (a - 1) + (b - 2) - 2 c + 11| \leq |2 (a - 1) + (b - 2) - 2 c| + 11 \\ \overset{B C S}{} \sqrt{[{(a - 1)}^{2} + {(b - 2)}^{2} + c^{2}] [2^{2} + 1^{2} + {(- 2)}^{2}]} + 11 = 20. \end{array}

Đẳng thức xảy ra khi: $\{\begin{cases} 2 (a - 1) + (b - 2) - 2 c > 0 \\ \frac{a - 1}{2} = \frac{b - 2}{1} = \frac{c}{- 2} \\ {(a - 1)}^{2} + {(b - 2)}^{2} + c^{2} = 9 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 3 \\ b = 3 \\ c = - 2 \end{cases}$

Khi đó: $P = a + 2 b + 3 c = 3 + 2.3 + 3. (- 2) = 3.$

Cách 2: phương pháp hình học.

Trong không gian $O x y z$ , gọi mặt cầu $(S)$ có tâm $I (1; 2; 0)$ , bán kính $R = 3$ . Khi đó:

(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2} = 9 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 y = 4.

và mặt phẳng $(P) : 2 x + y - 2 z + 7 = 0$ .

Gọi $M (a; b; c)$ , ta có: $d (M; (P)) = \frac{|2 a + b - 2 c + 7|}{3}$ .

Vì $a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2 a - 4 b = 4 \Rightarrow M \in (S)$ .

Bài toán đã cho trở thành: Tìm $M \in (S)$ sao cho $d (M; (P))$ lớn nhất.

Gọi $Δ$ là đường thẳng qua $I$ và vuông góc $(P)$ $\Rightarrow Δ : \{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 2 + t \\ z = - 2 t \end{cases}$ .

Điểm $M$ cần tìm chính là 1 trong 2 giao điểm của $Δ$ với $(S) : M_{1} (3; 3; - 2), M_{2} (- 1; 1; 2)$ .

Ta có: $d (M_{1}; (P)) = \frac{20}{3} > d (M_{2}; (P)) = \frac{2}{3} \Rightarrow M a x d (M; (P)) = \frac{20}{3} \Leftrightarrow M \equiv M_{1}$ .

Vậy $P = a + 2 b + 3 c = 3 + 2.3 + 3. (- 2) = 3.$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian $o x y z$ , cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 25$ và mặt phẳng $(P) : x + 2 y + 2 z - 12 = 0$ . Tính bán kính đường tròn giao tuyến của $(S)$ và $(P)$ .

A. $4.$

B. $16.$

C. $9.$

D. $3.$

Lời giải

Chọn D

Ta có: $(S) có \{\begin{cases} Tâm : O (0; 0; 0) \\ Bán kính : R = 5 \end{cases}$

$\Rightarrow d (O; (P)) = \frac{|- 12|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} = 4 < 5 = R$ . Suy ra $(S)$ cắt $(P)$ theo giao tuyến là đường tròn $(C)$ . Gọi $r$ là bán kính của $(C)$ ta có: $r = \sqrt{R^{2} - d^{2} (O; (P))} = \sqrt{25 - 16} = 3$ .

Câu 2

Cho hình chóp tam giác $S . A B C$ có $S A$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C), S A = \sqrt{3} .$ Tam giác $A B C$ đều, cạnh $a .$ Góc giữa $S C$ và mặt phẳng $(A B C)$ bằng:

A. $30^{0}$

B. $60^{0}$

C. $45^{0}$

D. $90^{0}$

Lời giải

Chọn B

Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng Tam giác đều, cạnh Góc giữa và mặt phẳng bằng: (ảnh 2)

Ta có: $S A ⊥ (A B C) \Rightarrow$ AC là hình chiếu của $S C$ trên $(A B C) .$

∠ (S C, (A B C)) = ∠ (S C, A C) = ∠ S C A

Xét $Δ S A C$ vuông tại $A$ ta có:

\tan ∠ S A C = \frac{S A}{A C} = \frac{a \sqrt{3}}{a} = \sqrt{3}

\Rightarrow ∠ S C A = 60^{0} .

Câu 3

Diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh $l$ và bán kính $r$ bằng

A. $π r l$

B. $2 π r l$

C. $\frac{1}{3} π r l$

D. $4 π r l$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hàm số $y = f (x)$ và $y = g (x)$ liên tục trên đoạn $[1; 5]$ sao cho $\int_{1}^{5} f (x) d x = 2$ và $\int_{1}^{5} g (x) d x = - 4$ . Giá trị của $\int_{1}^{5} [g (x) - f (x)] d x$ là

A. $- 2$

B. $6$

C. $2$

D. $- 6$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho $d$ là đường thẳng đi qua điểm $A (1; 2; 3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(α) : 4 x + 3 y - 7 z + 1 = 0$ . Phương trình chính tắc của $d$ là

A. $\frac{x - 1}{- 4} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z - 3}{- 7}$

B. $\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{- 7}$

C. $\frac{x - 4}{1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 7}{3}$

D. $\frac{x + 1}{4} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z + 3}{- 7}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Một trong bốn hàm số cho trong các phương án $A, B, C, D$ sau đây có đồ thị như hình vẽ

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 1$

B. $y = x^{3} - 3 x^{2} + 1$

C. $y = x^{3} + 3 x^{2} + 1$

D. $y = - x^{3} + 3 x^{2} + 1$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho $a, b, x$ là các số thực dương thỏa mãn $\log_{5} x = 2 \log_{\sqrt{5}} a + 3 \log_{\frac{1}{5}} b$ . Mệnh đề nào là đúng?

A. $x = \frac{a^{4}}{b}$

B. $x = 4 a - 3 b$

C. $x = \frac{a^{4}}{b^{3}}$

D. $x = a^{4} - b^{3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn a2+b2+c2−2a−4b=4. Tính P=a+2b+3c khi biểu thức 2a+b−2c+7 đạt giá trị lớn nhất.

Trong không gian oxyz, cho mặt cầu S:x2+y2+z2=25 và mặt phẳng P:x+2y+2z−12=0. Tính bán kính đường tròn giao tuyến của Svà P.

Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC,SA=3. Tam giác ABC đều, cạnh a. Góc giữa SC và mặt phẳng ABC bằng:

Diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh l và bán kính r bằng

Cho hàm số y=fx và y=gx liên tục trên đoạn 1;5 sao cho ∫15fxdx=2 và ∫15gxdx=−4. Giá trị của ∫15gx−fxdx là

Cho d là đường thẳng đi qua điểm A1 ;2 ;3 và vuông góc với mặt phẳng α:4x+3y−7z+1=0. Phương trình chính tắc của d là

Một trong bốn hàm số cho trong các phương án A,B,C,D sau đây có đồ thị như hình vẽ Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Cho a,b,x là các số thực dương thỏa mãn log5x=2log5a+3log15b. Mệnh đề nào là đúng?

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2 a - 4 b = 4$ . Tính $P = a + 2 b + 3 c$ khi biểu thức $|2 a + b - 2 c + 7|$ đạt giá trị lớn nhất.

Trong không gian $o x y z$ , cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 25$ và mặt phẳng $(P) : x + 2 y + 2 z - 12 = 0$ . Tính bán kính đường tròn giao tuyến của $(S)$ và $(P)$ .

Cho hình chóp tam giác $S . A B C$ có $S A$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C), S A = \sqrt{3} .$ Tam giác $A B C$ đều, cạnh $a .$ Góc giữa $S C$ và mặt phẳng $(A B C)$ bằng:

Diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh $l$ và bán kính $r$ bằng

Cho hàm số $y = f (x)$ và $y = g (x)$ liên tục trên đoạn $[1; 5]$ sao cho $\int_{1}^{5} f (x) d x = 2$ và $\int_{1}^{5} g (x) d x = - 4$ . Giá trị của $\int_{1}^{5} [g (x) - f (x)] d x$ là

Cho $d$ là đường thẳng đi qua điểm $A (1; 2; 3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(α) : 4 x + 3 y - 7 z + 1 = 0$ . Phương trình chính tắc của $d$ là

Một trong bốn hàm số cho trong các phương án $A, B, C, D$ sau đây có đồ thị như hình vẽ

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Cho $a, b, x$ là các số thực dương thỏa mãn $\log_{5} x = 2 \log_{\sqrt{5}} a + 3 \log_{\frac{1}{5}} b$ . Mệnh đề nào là đúng?