Cho x, y là các số thực và x dương thỏa mãn log21−y2x=3(x+y2−1) . Biết giá trị lớn nhất của biểu thức P=1−y2+9x2+18x2+y2+x bằng abc2 với a, b, c là các số nguyên tố. Tính giá trị của biểu thức T=a+b+c...

Đáp án D Điều kiện: x>0y∈(−1;1) . Khi đó điều kiện bài toán tương đương: log2(1−y2)+3(1−y2)=log2x+3x⇔f(1−y2)=f(x) (*) với f(t)=log2t+t đồng biến trên (0;+∞) . Khi đó (*) ⇔1−y2=x , suy ra: P=x+9x2+18x2+1=19x2+1−x=1g(x) với x>0 . Xét hàm số g(x)=9x2+1−x với x>0 . Ta có: g'(x)=9x9x2+1−1=0⇔9x2+1=81x2→x>0x=212 . Lập bảng biến thiên, suy ra: min(0;+∞)g(x)=g212=223 Khi đó Pmax=1min(0;+∞)g(x)=322=3222=abc2⇒a=3b=c=2⇒T=7 .

Câu hỏi:

17/04/2022 309

Cho x, y là các số thực và x dương thỏa mãn $\log_{2} \frac{1 - y^{2}}{x} = 3 (x + y^{2} - 1)$ . Biết giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{1 - y^{2} + \sqrt{9 x^{2} + 1}}{8 x^{2} + y^{2} + x}$ bằng $\frac{a \sqrt{b}}{c^{2}}$ với a, b, c là các số nguyên tố. Tính giá trị của biểu thức $T = a + b + c$ .

A. $T = 8$

B. $T = 10$

C. $T = 12$

D. $T = 7$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (20 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án D

Điều kiện: $\{\begin{cases} x > 0 \\ y \in (- 1; 1) \end{cases}$ . Khi đó điều kiện bài toán tương đương: $\log_{2} (1 - y^{2}) + 3 (1 - y^{2}) = \log_{2} x + 3 x \Leftrightarrow f (1 - y^{2}) = f (x)$ (*) với $f (t) = \log_{2} t + t$ đồng biến trên $(0; + \infty)$ .

Khi đó (*) $\Leftrightarrow 1 - y^{2} = x$ , suy ra: $P = \frac{x + \sqrt{9 x^{2} + 1}}{8 x^{2} + 1} = \frac{1}{\sqrt{9 x^{2} + 1} - x} = \frac{1}{g (x)}$ với $x > 0$ .

Xét hàm số $g (x) = \sqrt{9 x^{2} + 1} - x$ với $x > 0$ .

Ta có: $g^{'} (x) = \frac{9 x}{\sqrt{9 x^{2} + 1}} - 1 = 0 \Leftrightarrow 9 x^{2} + 1 = 81 x^{2} \overset{x > 0}{\to} x = \frac{\sqrt{2}}{12}$ .

Lập bảng biến thiên, suy ra: $\min_{(0; + \infty)} g (x) = g (\frac{\sqrt{2}}{12}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Khi đó $P_{\max} = \frac{1}{\min_{(0; + \infty)} g (x)} = \frac{3}{2 \sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{2}}{2^{2}} = \frac{a \sqrt{b}}{c^{2}} \Rightarrow \{\begin{cases} a = 3 \\ b = c = 2 \end{cases} \Rightarrow T = 7$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm $M (- 2; 1; 3)$ và chứa trục hoành có phương trình là

A. $(P) : y + z - 4 = 0$

B. $(P) : x - y + z = 0$

C. $(P) : 3 y + z - 6 = 0$

D. $(P) : 3 y - z = 0$

Lời giải

Đáp án D

Chọn $N (1; 0; 0) \in O x \Rightarrow \vec{M N} = (3; - 1; - 3)$ .

Ta có $\vec{i} = (1; 0; 0)$ là vectơ chỉ phương (vectơ đơn vị) của trục Ox.

Do $\{\begin{cases} M N \subset (P) \\ O x \subset (P) \end{cases} \Rightarrow \vec{n_{(P)}} = [\vec{M N}, \vec{i}] = (0; - 3; 1) \Rightarrow (P) : - 3 y + z = 0$ hay $(P) : 3 y - z = 0$ .

Câu 2

Có bao nhiêu giá trị của tham số thực a để hàm số $y = \frac{\cos x + a \sin x + 1}{\cos x + 2}$ có giá trị lớn nhất bằng 1?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Lời giải

Đáp án C

Ta có $y = \frac{\cos x + a \sin x + 1}{\cos x + 2} \Leftrightarrow y (\cos x + 2) = \cos x + a \sin x + 1 \Leftrightarrow a \sin x + (1 - y) \cos x = 2 y - 1$ .

Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow a^{2} + {(1 - y)}^{2} \geq {(2 y - 1)}^{2} \Leftrightarrow 3 y^{2} - 2 y - a^{2} \leq 0$

$\Leftrightarrow \frac{1 - \sqrt{1 + 3 a^{2}}}{3} \leq y \leq \frac{1 + \sqrt{1 + 3 a^{2}}}{3}$ .

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \frac{1 + \sqrt{1 + 3 a^{2}}}{3} = 1 \Leftrightarrow \sqrt{1 + 3 a^{2}} = 2 \Leftrightarrow 1 + 3 a^{2} = 4 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 1 \\ a = - 1 \end{array}$ .

Câu 3

Có bao nhiêu cách xếp 6 quyển sách lên kệ sách thành một dãy hàng ngang, trong đó có 3 cuốn sách Toán giống nhau và 3 cuốn sách Văn giống nhau?

A. 20

B. 120

C. 720

D. 40

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{2 x + 1}{2 x - 3}$ .

A. $\int f (x) d x = x + \ln |2 x - 3| + C$

B. $\int f (x) d x = x + \frac{1}{2} \ln |2 x - 3| + C$

C. $\int f (x) d x = x + 2 \ln |2 x - 3| + C$

D. $\int f (x) d x = 2 x + 2 \ln |2 x - 3| + C$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Một người đem gửi ngân hàng 10 triệu đồng với thể thức lãi suất kép kì hạn 3 tháng với lãi suất 6% một năm. Sau 2 năm người đó đến rút tiền cả vốn lẫn lãi. Hỏi người đó nhận được tất cả bao nhiêu tiền?

A. 11.200.000 đồng

B. 11.000.000 đồng

C. 11.264.926 đồng

D. 11.263.125 đồng

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A (- 1; 2; - 3), B (1; 0; 2), C (x; y; - 2)$ thẳng hàng. Khi đó tổng $x + y$ bằng bao nhiêu?

A. $x + y = 1$

B. $x + y = 17$

C. $x + y = \frac{11}{5}$

D. $x + y = - \frac{11}{5}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm $M (1; - 2; 1), N (2; - 3; 3)$ . Gọi P là giao điểm của MN và mặt phẳng (Oyz). Tọa độ điểm P là

A. $P (0; 1; 1)$

B. $P (- 1; 0; 0)$

C. $P (0; - 1; - 1)$

D. $P (0; - 2; 1)$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho x, y là các số thực và x dương thỏa mãn log21−y2x=3(x+y2−1) . Biết giá trị lớn nhất của biểu thức P=1−y2+9x2+18x2+y2+x bằng abc2 với a, b, c là các số nguyên tố. Tính giá trị của biểu thức T=a+b+c.

Bình luận

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm M(−2;1;3) và chứa trục hoành có phương trình là

Có bao nhiêu giá trị của tham số thực a để hàm số y=cosx+asinx+1cosx+2 có giá trị lớn nhất bằng 1?

Có bao nhiêu cách xếp 6 quyển sách lên kệ sách thành một dãy hàng ngang, trong đó có 3 cuốn sách Toán giống nhau và 3 cuốn sách Văn giống nhau?

Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=2x+12x−3.

Một người đem gửi ngân hàng 10 triệu đồng với thể thức lãi suất kép kì hạn 3 tháng với lãi suất 6% một năm. Sau 2 năm người đó đến rút tiền cả vốn lẫn lãi. Hỏi người đó nhận được tất cả bao nhiêu tiền?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(−1;2;−3), B(1;0;2), C(x;y;−2) thẳng hàng. Khi đó tổng x+y bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(1;−2;1), N(2;−3;3) . Gọi P là giao điểm của MN và mặt phẳng (Oyz). Tọa độ điểm P là

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm $M (- 2; 1; 3)$ và chứa trục hoành có phương trình là

Có bao nhiêu giá trị của tham số thực a để hàm số $y = \frac{\cos x + a \sin x + 1}{\cos x + 2}$ có giá trị lớn nhất bằng 1?

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{2 x + 1}{2 x - 3}$ .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A (- 1; 2; - 3), B (1; 0; 2), C (x; y; - 2)$ thẳng hàng. Khi đó tổng $x + y$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm $M (1; - 2; 1), N (2; - 3; 3)$ . Gọi P là giao điểm của MN và mặt phẳng (Oyz). Tọa độ điểm P là