Cho hàm số $y=f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ với $a\ne 0$ có hai hoành độ cực trị là x = 1 và x = 3. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f(x) = f(m) có đúng ba nghiệm phân biệt là  

Chọn B.

Vì hàm số $y=f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ với $a\ne 0$ có hai hoành độ cực trị là x = 1 và x = 3.

Suy ra $f\text{'}\left(x\right)=3a{x}^2+2bx+c=3a\left(x-1\right)\left(x-3\right),\forall x\in ℝ\iff \left\{\begin{array}{l}b=-6a\\ c=9a\end{array}\right.$

$\Rightarrow y=f\left(x\right)=a{x}^3-6a{x}^2+9ax+d$

Do đó ta có $f\left(1\right)=f\left(4\right)=4a+d;f\left(0\right)=f\left(3\right)=d.$

Trường hợp 1. Với a > 0 ta có bảng biến thiên của hàm số y = f(x)

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình f(x) = t có ba nghiệm phân biệt khi f(3) < t < f(1)

Xét phương trình: $f\left(m\right)=t,t\in \left(f\left(3\right);f\left(1\right)\right)\iff m\in \left(0;4\right)\backslash \left\{1;3\right\}.f\left(m\right)=t,t\in \left(f\left(3\right);f\left(1\right)\right)\iff m\in \left(0;4\right)\backslash \left\{1;3\right\}.$

Trường hợp 2. Với a < 0 ta có bảng biến thiên của hàm số y = f(x)

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình f(x) = t có ba nghiệm phân biệt khi f(1) < t < f(3)

Xét phương trình: $f\left(m\right)=t,t\in \left(f\left(1\right);f\left(3\right)\right)\iff m\in \left(0;4\right)\backslash \left\{1;3\right\}.$

Vậy để phương trình f(x) = f(m) có đúng ba nghiệm phân biệt khi $m\in \left(0;4\right)\backslash \left\{1;3\right\}.$