Câu hỏi:

18/04/2022 7,331

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c là các số thực khác 0, mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M(2; 4; 5). Biết rằng mặt cầu (S): ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 25$ cắt mặt phẳng (ABC) theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi $8 π$ . Giá trị của biểu thức a + b + c bằng

A. 40

B. 4

C. 20

D. 30

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (20 đề) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án A

Phương trình mặt phẳng (ABC) là $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.$

Vì mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M(2; 4; 5) nên ta có $\frac{2}{a} + \frac{4}{b} + \frac{5}{c} = 1$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (\frac{1}{a}; \frac{1}{b}; \frac{1}{c})$ .

Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 5.

Ta có $\vec{I M} = (1; 2; 2)$ nên IM = 3 (1)

Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (ABC).

Khi đó giao tuyến của (ABC) với mặt cầu (S) là đường tròn tâm H có chu vi bằng $8 π$ suy ra bán kính r = 4.

Ta có $I H = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3 (2)$

Vì $I H ⊥ (A B C)$ và $M \in (A B C)$ nên $I M \geq I H$ (3)

Từ (1), (2) ta có IM = IH = 3. Do đó (3) phải xảy ra đẳng thức hay $M \equiv H .$

Khi đó $I M ⊥ (A B C)$ nên $\vec{I M}$ là vectơ pháp tuyến của (ABC).

Suy ra $\vec{n} = k \vec{I M} (k \neq 0) \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{1}{a} = k . \\ \frac{1}{b} = 2 k \\ \frac{1}{c} = 2 k \end{cases}$ .

Vì $\frac{2}{a} + \frac{4}{b} + \frac{5}{c} = 1$ nên $2 k + 8 k + 10 k = 1 \Leftrightarrow k = \frac{1}{20} .$

Từ đó suy ra a = 20, b = 10, c = 10.

Vậy a + b + c = 40.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c là các số thực khác 0, mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M(2; 4; 5). Biết rằng mặt cầu (S): cắt mặt phẳng (ABC) theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi . Giá trị của biểu thức a + b + c bằng (ảnh 1)

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Bên trong hình vuông cạnh a, dựng hình sao bốn cạnh đều như hình vẽ bên (các kích thước cần thiết cho như ở trong hình). Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình sao đó quanh trục Ox.

A. $V = \frac{π}{8} a^{3}$

B. $V = \frac{5 π}{24} a^{3}$

C. $V = \frac{5 π}{48} a^{3}$

D. $V = \frac{5 π}{96} a^{3}$

Lời giải

Đáp án C

Xét hình nằm ở góc phần tư thứ nhất.

Bên trong hình vuông cạnh a, dựng hình sao bốn cạnh đều như hình vẽ bên (các kích thước cần thiết cho như ở trong hình). Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình sao đó quanh trục Ox. (ảnh 2)

Khi đó ta viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $(\frac{a}{2}; \frac{a}{2})$ và $(0; \frac{a}{4})$ là $y = \frac{x}{2} + \frac{a}{4}$ .

Và viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

$(\frac{a}{2}; \frac{a}{2})$ và $(\frac{a}{4}; 0)$ là $y = 2 x - \frac{a}{2}$ .

Gọi V là thể tích khối tròn xoay cần tính.

Gọi $V_{1}$ là thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng được tô màu trong hình bên (chỉ xét ở góc phần tư thứ nhất) quanh trục hoành. Khi đó $V = 2 V_{1}$ .

Ta có $V_{1} = π \int_{0}^{\frac{a}{2}} {(\frac{x}{2} + \frac{a}{4})}^{2} d x - π \int_{\frac{a}{4}}^{\frac{a}{2}} {(2 x - \frac{a}{2})}^{2} d x = \frac{5 π a^{3}}{96}$

Suy ra thể tích cần tính $V = 2 V_{1} = \frac{5 π a^{3}}{48}$ .

Câu 2

Cho (u_n) là một cấp số cộng thỏa mãn $u_{1} + u_{3} = 8$ và $u_{4} = 10$ . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. 3

B. 6

C. 2

D. 4

Lời giải

Đáp án A

Ta có $\{\begin{cases} u_{1} + u_{3} = 8 \\ u_{4} = 10 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} + u_{1} + 2 d = 8 \\ u_{1} + 3 d = 10 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 u_{1} + 2 d = 8 \\ u_{1} + 3 d = 10 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} = 1 \\ d = 3 \end{cases} .$

Vậy công sai của cấp số cộng là d = 3.

Câu 3

Biết $\lim_{x \to - \infty} (\sqrt{5 x^{2} + 2 x} + \sqrt{5} x) = \sqrt{5} a + b$ với $a, b \in ℚ$ . Tính $S = 5 a + b .$

A. $S = - 5.$

B. $S = - 1.$

C. $S = 1.$

D. $S = 5.$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 25$ . Mặt phẳng (Oxy) cắt mặt cầu (S) theo một thiết diện là đường tròn (C). Diện tích của đường tròn (C) là

A. $8 π$

B. $12 π$

C. $16 π$

D. $4 π$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng

A. $a$

B. $\frac{a \sqrt{5}}{2} .$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{2} .$

D. $a \sqrt{2} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong không gian (Oxyz), cho hai đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 7}{1} = \frac{z - 3}{4}$ và $d' : \frac{x - 6}{3} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z + 2}{1}$ . Vị trí tương đối của hai đường thẳng này là.

A. song song

B. trùng nhau

C. cắt nhau

D. chéo nhau

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho (u_n) là một cấp số cộng thỏa mãn $u_{1} + u_{3} = 8$ và $u_{4} = 10$ . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

Biết $\lim_{x \to - \infty} (\sqrt{5 x^{2} + 2 x} + \sqrt{5} x) = \sqrt{5} a + b$ với $a, b \in ℚ$ . Tính $S = 5 a + b .$

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 25$ . Mặt phẳng (Oxy) cắt mặt cầu (S) theo một thiết diện là đường tròn (C). Diện tích của đường tròn (C) là

Trong không gian (Oxyz), cho hai đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 7}{1} = \frac{z - 3}{4}$ và $d' : \frac{x - 6}{3} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z + 2}{1}$ . Vị trí tương đối của hai đường thẳng này là.