Câu hỏi:

18/04/2022 5,470

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c là các số thực khác 0, mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M(2; 4; 5). Biết rằng mặt cầu (S): ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 25$ cắt mặt phẳng (ABC) theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi $8 π$ . Giá trị của biểu thức a + b + c bằng

A. 40

Đáp án chính xác

B. 4

C. 20

D. 30

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (20 đề) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án A

Phương trình mặt phẳng (ABC) là $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.$

Vì mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M(2; 4; 5) nên ta có $\frac{2}{a} + \frac{4}{b} + \frac{5}{c} = 1$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (\frac{1}{a}; \frac{1}{b}; \frac{1}{c})$ .

Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 5.

Ta có $\vec{I M} = (1; 2; 2)$ nên IM = 3 (1)

Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (ABC).

Khi đó giao tuyến của (ABC) với mặt cầu (S) là đường tròn tâm H có chu vi bằng $8 π$ suy ra bán kính r = 4.

Ta có $I H = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3 (2)$

Vì $I H ⊥ (A B C)$ và $M \in (A B C)$ nên $I M \geq I H$ (3)

Từ (1), (2) ta có IM = IH = 3. Do đó (3) phải xảy ra đẳng thức hay $M \equiv H .$

Khi đó $I M ⊥ (A B C)$ nên $\vec{I M}$ là vectơ pháp tuyến của (ABC).

Suy ra $\vec{n} = k \vec{I M} (k \neq 0) \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{1}{a} = k . \\ \frac{1}{b} = 2 k \\ \frac{1}{c} = 2 k \end{cases}$ .

Vì $\frac{2}{a} + \frac{4}{b} + \frac{5}{c} = 1$ nên $2 k + 8 k + 10 k = 1 \Leftrightarrow k = \frac{1}{20} .$

Từ đó suy ra a = 20, b = 10, c = 10.

Vậy a + b + c = 40.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c là các số thực khác 0, mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M(2; 4; 5). Biết rằng mặt cầu (S): cắt mặt phẳng (ABC) theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi . Giá trị của biểu thức a + b + c bằng (ảnh 1)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Cho (u_n) là một cấp số cộng thỏa mãn $u_{1} + u_{3} = 8$ và $u_{4} = 10$ . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. 3

B. 6

C. 2

D. 4

Xem đáp án » 18/04/2022 5,852

Câu 2:

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 25$ . Mặt phẳng (Oxy) cắt mặt cầu (S) theo một thiết diện là đường tròn (C). Diện tích của đường tròn (C) là

A. $8 π$

B. $12 π$

C. $16 π$

D. $4 π$

Xem đáp án » 18/04/2022 5,347

Câu 3:

Biết $\lim_{x \to - \infty} (\sqrt{5 x^{2} + 2 x} + \sqrt{5} x) = \sqrt{5} a + b$ với $a, b \in ℚ$ . Tính $S = 5 a + b .$

A. $S = - 5.$

B. $S = - 1.$

C. $S = 1.$

D. $S = 5.$

Xem đáp án » 18/04/2022 5,273

Câu 4:

Trong không gian (Oxyz), cho hai đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 7}{1} = \frac{z - 3}{4}$ và $d' : \frac{x - 6}{3} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z + 2}{1}$ . Vị trí tương đối của hai đường thẳng này là.

A. song song

B. trùng nhau

C. cắt nhau

D. chéo nhau

Xem đáp án » 18/04/2022 3,769

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD. Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a.

A. $\frac{a^{3}}{3}$

B. $\frac{a^{3}}{2}$

C. $a^{3}$

D. $2 a^{3}$

Xem đáp án » 18/04/2022 3,201

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): $x - 2 y + 3 z - 4 = 0$ và hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 1}{2}, d_{2} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z + 1}{1}$ . Mặt phẳng $(α)$ song song với (P) và cắt $d_{1}, d_{2}$ theo thứ tự tại M, N sao cho $M N = \sqrt{3}$ . Điểm nào sau đây thuộc $(α)$ ?

A. (1; 2; 3)

B. (0; 1; -3)

C. (0; -1; 3)

D. (0; 1; 3)

Xem đáp án » 18/04/2022 3,145

Xem thêm các câu hỏi khác »

Nhà sách VIETJACK:

Cho (u_n) là một cấp số cộng thỏa mãn $u_{1} + u_{3} = 8$ và $u_{4} = 10$ . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 25$ . Mặt phẳng (Oxy) cắt mặt cầu (S) theo một thiết diện là đường tròn (C). Diện tích của đường tròn (C) là

Biết $\lim_{x \to - \infty} (\sqrt{5 x^{2} + 2 x} + \sqrt{5} x) = \sqrt{5} a + b$ với $a, b \in ℚ$ . Tính $S = 5 a + b .$

Trong không gian (Oxyz), cho hai đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 7}{1} = \frac{z - 3}{4}$ và $d' : \frac{x - 6}{3} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z + 2}{1}$ . Vị trí tương đối của hai đường thẳng này là.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD. Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a.

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Nhà sách VIETJACK:

Cho (un) là một cấp số cộng thỏa mãn u1+u3=8 và u4=10 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x−1)2+(y−2)2+(z−3)2=25 . Mặt phẳng (Oxy) cắt mặt cầu (S) theo một thiết diện là đường tròn (C). Diện tích của đường tròn (C) là

Biết limx→−∞5x2+2x+​5x=5a+b với a,b∈ℚ . Tính S=5a+b.

Trong không gian (Oxyz), cho hai đường thẳng d:x−12=y−71=z−34 và d':x−63=y+1−2=z+21 . Vị trí tương đối của hai đường thẳng này là.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD. Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x−2y+3z−4=0 và hai đường thẳng d1:x−11=y−1=z+12,d2:x−12=y−31=z+11 . Mặt phẳng (α) song song với (P) và cắt d1,d2 theo thứ tự tại M, N sao cho MN=3 . Điểm nào sau đây thuộc (α) ?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho (u_n) là một cấp số cộng thỏa mãn $u_{1} + u_{3} = 8$ và $u_{4} = 10$ . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 25$ . Mặt phẳng (Oxy) cắt mặt cầu (S) theo một thiết diện là đường tròn (C). Diện tích của đường tròn (C) là

Biết $\lim_{x \to - \infty} (\sqrt{5 x^{2} + 2 x} + \sqrt{5} x) = \sqrt{5} a + b$ với $a, b \in ℚ$ . Tính $S = 5 a + b .$

Trong không gian (Oxyz), cho hai đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 7}{1} = \frac{z - 3}{4}$ và $d' : \frac{x - 6}{3} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z + 2}{1}$ . Vị trí tương đối của hai đường thẳng này là.