Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số $y=\frac{x+1}{x^3-3x^2-m}$  có đúng một tiệm cận đứng.

Đáp án C

Xét phương trình $x^3-3x^2-m=0\iff x^3-3x^2=m$ $\left(*\right)$         

Số nghiệm của $\left(*\right)$  là số giao điểm của đường thẳng $y=m$ và đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ .

Xét hàm số $f\left(x\right)=x^3-3x^2$  có $f^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2-6x$ ,  $f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}\right.$

Bảng biến thiên của hàm $f\left(x\right)$

 Đồ thị của hàm số $y=\frac{x+1}{x^3-3x^2-m}$  có đúng một tiệm cận đứng thì phương trình $\left(*\right)$  phải thỏa mãn một trong các trường hợp sau:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình $\left(*\right)$  có nghiệm duy nhất $x\ne -1$  khi $\left[\begin{array}{l}m<-4\\ m>0\end{array}\right.$ .

+) TH2: Phương trình $\left(*\right)$  có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm $x=-1$  và một nghiệm kép 

Dựa vào BBT ta thấy phương trình $\left(*\right)$  có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm $x=-1$  và một nghiệm kép khi $m=-4$ .

Kết hợp hai trường hợp ta có giá trị của tham số thỏa mãn đề bài là $\left[\begin{array}{l}m>0\\ m\le -4\end{array}\right.$ .