Giả sử f(x) là một hàm số có đạo hàm liên tục trên $ℝ.$ Biết rằng $G\left(x\right)=x^3$ là một nguyên hàm của $g\left(x\right)=e^{-2x}f\left(x\right)$ trên $ℝ.$Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $e^{-2x}f\text{'}\left(x\right)dx$ là: 

Phương pháp:

- Số nghiệm của phương trình f(x) = m là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = m.

- Tìm nghiệm $x^2,$ từ đó tìm nghiệm x.

Cách giải:

Ta có: $f\left(x^2\right)+1=0\iff f\left(x^2\right)=-1,$ số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = -1

Dựa vào đồ thị ta thấy $f\left(x^2\right)=-1\iff \left[\begin{array}{l}{x}^2=a<0\left(Vônghiệm\right)\\ x^2=b>0\\ x^2=c>0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=\pm \sqrt{b}\\ x=\pm \sqrt{c}\end{array}\right..$

Vậy phương trình $f\left(x^2\right)+1=0$ có 4 nghiệm.

Chọn C.

Chú ý khi giải: Đề bài yêu cầu tìm nghiệm của phương trình $f\left(x^2\right)+1=0$ là tìm nghiệm x chứa không tìm nghiệm $x^2.$

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính nguyên hàm: $\underset{}{\overset{}{\int }}{a}^{mx+n}dx=\frac{a^{mx+n}}{m\ln a}+C.$

Cách giải:

$\underset{}{\overset{}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{}{\overset{}{\int }}{3}^{2x-1}dx=\frac{3^{2x-1}}{\ln 3}+C=\frac{9^x}{6\ln 3}+C.$

Chọn C.