Cho hàm số $y=f\left(x\right)$  có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng $\left(-2020;2020\right)$  để hàm số $y=f\left(\cos x+2x+m\right)$  đồng biến trên nửa khoảng $\left[0;+\infty \right)$ .

Đáp án A

Ta có $y^{\text{'}}=\left(-\sin x+2\right).f^{\text{'}}\left(\cos x+2x+m\right)$

Hàm số $y=f\left(\cos x+2x+m\right)$  liên tục trên nửa khoảng $\left[0;+\infty \right)$

 $\Rightarrow$Hàm số $y=f\left(\cos x+2x+m\right)$  đồng biến trên $\left[0;+\infty \right)$  khi và chỉ khi

    $\left(-\sin x+2\right).f^{\text{'}}\left(\cos x+2x+m\right)\ge \mathrm{0,}\forall x\in \left(0;+\infty \right)$ (1)

Do $-\sin x+2>\mathrm{0,}\forall x\in R$  nên  $\left(1\right)\iff f^{\text{'}}\left(\cos x+2x+m\right)\ge \mathrm{0,}\forall x\in \left(0;+\infty \right)$       (2)

Dựa vào đồ thị ta có $\left(2\right)\iff \left[\begin{array}{l}\cos x+2x+m\ge \mathrm{2,}\forall x\in \left(0;+\infty \right)\\ \cos x+2x+m\le \mathrm{0,}\forall x\in \left(0;+\infty \right)\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\cos x+2x\ge 2-m,\forall x\in \left(0;+\infty \right)\left(3\right)\\ \cos x+2x\le -m,\forall x\in \left(0;+\infty \right)\left(4\right)\end{array}\right.$

Xét hàm $g\left(x\right)=\cos x+2x$  trên $\left[0;+\infty \right)$  có $g^{\text{'}}\left(x\right)=-\sin x+2>\mathrm{0,}\forall x\in \left(0;+\infty \right)$  nên $g\left(x\right)$  đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$  đồng thời $g\left(x\right)$  liên tục trên $\left[0;+\infty \right)$

Suy ra $\underset{\left[0;+\infty \right)}{\min }g\left(x\right)=g\left(0\right)=1$  và $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=+\infty$ .

Do đó, không có giá trị m thỏa mãn (4)

$\left(3\right)\iff \underset{\left[0;+\infty \right)}{\min }g\left(x\right)\ge 2-m\iff 1\ge 2-m\iff m\ge 1$

Vậy có tất cả 2019 giá trị nguyên của tham số m.