Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $\left[-20;20\right]$  để đồ thị hàm số $y=f\left(x^2-2x+m\right)-m$  có 5 đường tiệm cận?

Đáp án B

Từ đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$  ta suy ra  $f\left(x\right)$ có tập xác định $D=R\backslash \left\{\pm 1\right\}$  và các giới hạn $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)=0$ ,$\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ ,$\underset{x\to -1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ , $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ , $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ .

Vì hàm số $t=x^2-2x+m$  xác định trên R nên hàm số $y=f\left(x^2-2x+m\right)-m$  xác định $\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2-2x+m\ne 1\\ x^2-2x+m\ne -1\end{array}\right.$

Vì  $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(x^2-2x+m\right)=+\infty$ nên $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[f\left(x^2-2x+m\right)-m\right]=\underset{t\to +\infty }{\lim }\left[f\left(t\right)-m\right]=-m$

Do đó đồ thị hàm số $y=f\left(x^2-2x+m\right)-m$ có đúng một đường tiệm cận ngang là đường thẳng $y=-m$ (về cả 2 phía $x\to +\infty$ và $x\to -\infty$ )

Để đồ thị hàm số $y=f\left(x^2-2x+m\right)-m$  có 5 đường tiệm cận thì nó phải có 4 đường tiệm cận đứng.

Điều kiện cần $\left[\begin{array}{l}{x}^2-2x+m=1\\ x^2-2x+m=-1\end{array}\right.$  phải có 4 nghiệm phân biệt.

 $\iff \left[\begin{array}{l}{\left(x-1\right)}^2=-m+2\\ {\left(x-1\right)}^2=-m\end{array}\right.$có 4 nghiệm phân biệt $\iff \left[\begin{array}{l}-m+2>0\\ -m>0\end{array}\right.\iff m<0$.

Điều kiện đủ: Giả sử $x_1,x_2(x_1<x_2)$  là hai nghiệm phân biệt của phương trình $x^2-2x+m=1$ ;  $x_3;x_4$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình $x^2-2x+m=-1$.

Xét đường thẳng $x=x_1$ , ta có $\underset{x\to {x_1}^{\mp }}{\lim }\left[f\left(x^2-2x+m\right)-m\right]=\underset{t\to 1^{\pm }}{\lim }\left[f\left(t\right)-m\right]=\pm \infty$

Suy ta đường thẳng $x=x_1$  là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f\left(x^2-2x+m\right)-m$

Tương tự các đường thẳng $x=x_2$ , $x=x_3,x=x_4$  cũng là các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f\left(x^2-2x+m\right)-m$

Vậy để đồ thị hàm số $y=f\left(x^2-2x+m\right)-m$  có 5 đường tiệm cận thì $m<0$

Do $m\in Z$  và $m\in \left[-20;20\right]$  nên có tất cả 20 giá trị của m.