Cho hàm số $f\left(x\right)$  xác định và có đạo hàm liên tục trên $\left[0;\pi \right]$  thỏa mãn $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}f\left(x\right)\cos xdx=A$ , $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$  và $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\left(f^{\text{'}}\left(x\right)\right)}^{2}dx=\frac{2A^2}{\pi }$  , ở đó A là hằng số. Tính $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}f\left(2x\right)dx$  theo A.

Đáp án C

Theo phương pháp tích phân từng phần, ta có: $A=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}f\left(x\right)\cos xdx=f\left(x\right)\sin x\left|{}_0^{\pi }\right.-\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)\sin xdx=-\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)\sin xdx$

Suy ra $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)\sin xdx=-A$

Ta lại có: $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\sin }^{2}xdx=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{1-\cos 2x}{2}dx=\left(\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}\right)\left|{}_0^{\pi }\right.=\frac{\pi }{2}$

Mặt khác,$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\left(f^{\text{'}}\left(x\right)\right)}^{2}dx=\frac{2A^2}{\pi }$ . Gọi X là số thực thỏa mãn 

$\frac{2A^2}{\pi }+2\left(-A\right)X+X^2\frac{\pi }{2}=0\iff {\left(\sqrt{\frac{2}{\pi }}A-X\sqrt{\frac{\pi }{2}}\right)}^2=0\Rightarrow X=\frac{2\text{A}}{\pi }$

Từ đó ta có: 

 $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\left(f^{\text{'}}\left(x\right)\right)}^{2}dx+2\frac{2\text{A}}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)\sin xdx+\frac{4A^2}{{\pi }^2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\sin }^{2}xdx=0$ hay $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\left(f^{\text{'}}\left(x\right)+\frac{2A}{\pi }\sin x\right)}^{2}dx=0$

Do $f^{\text{'}}\left(x\right)$ , sinx liên tục nên ${\left(f^{\text{'}}\left(x\right)+\frac{2A}{\pi }\sin x\right)}^2$  không âm, liên tục và $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\left(f^{\text{'}}\left(x\right)+\frac{2A}{\pi }\sin x\right)}^{2}dx=0$ do đó $f^{\text{'}}\left(x\right)+\frac{2A}{\pi }\sin x=0$  trên $\left[\mathrm{0,}\pi \right]$

Hay $f^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{2A}{\pi }\sin x$  trên $\left[\mathrm{0,}\pi \right]$

Lấy nguyên hàm hai vế trên $\left[\mathrm{0,}\pi \right]$  , ta có: $f\left(x\right)=\frac{2A}{\pi }\cos x+C$  với $\forall x\in \left[\mathrm{0,}\pi \right]$

Theo giả thiết $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$  nên $C=0$ . Vậy $f\left(x\right)=\frac{2\text{A}}{\pi }\cos x$  với $\forall x\in \left[\mathrm{0,}\pi \right]$

Khi đó $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}f\left(2x\right)dx=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{2A}{\pi }\cos 2xdx=\frac{A}{\pi }\sin 2x\left|{}_0^{\frac{\pi }{4}}\right.=\frac{A}{\pi }$.