Cho hàm số fx xác định và có đạo hàm liên tục trên 0; π thỏa mãn ∫0πfxcosxdx=A , fπ2=0 và ∫0πf'x2dx=2A2π , ở đó A là hằng số. Tính ∫0π4f2xdx theo A. A. 4A B. A2 C. Aπ D. π2A

Đáp án C Theo phương pháp tích phân từng phần, ta có: A=∫0πfxcosxdx=fxsinx0π−∫0πf'xsinxdx=−∫0πf'xsinxdx Suy ra ∫0πf'xsinxdx=−A Ta lại có: ∫0πsin2xdx=∫0π1−cos2x2dx=x2−sin2x40π=π2 Mặt khác,∫0πf'x2dx=2A2π . Gọi X là số thực thỏa mãn 2A2π+2−AX+X2π2=0⇔2πA−Xπ22=0⇒X=2Aπ Từ đó ta có: ∫0πf'x2dx+22Aπ∫0πf'xsinxdx+4A2π2∫0πsin2xdx=0 hay ∫0πf'x+2Aπsinx2dx=0 Do f'x , sinx liên tục nên f'x+2Aπsinx2 không âm, liên tục và ∫0πf'x+2Aπsinx2dx=0 do đó f'x+2Aπsinx=0 trên 0, π Hay f'x=−2Aπsinx trên 0, π Lấy nguyên hàm hai vế trên 0, π , ta có: fx=2Aπcosx+C với ∀x∈0, π Theo giả thiết fπ2=0 nên C=0 . Vậy fx=2Aπcosx với ∀x∈0, π Khi đó ∫0π4f2xdx=∫0π42Aπcos2xdx=Aπsin2x0π4=Aπ.

Câu hỏi:

22/04/2022 257

Cho hàm số $f (x)$ xác định và có đạo hàm liên tục trên $[0; π]$ thỏa mãn $\int_{0}^{π} f (x) \cos x d x = A$ , $f (\frac{π}{2}) = 0$ và $\int_{0}^{π} {(f^{'} (x))}^{2} d x = \frac{2 A^{2}}{π}$ , ở đó A là hằng số. Tính $\int_{0}^{\frac{π}{4}} f (2 x) d x$ theo A.

A. 4A

B. $\frac{A}{2}$

C. $\frac{A}{π}$

Đáp án chính xác

D. $π^{2} A$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (20 đề) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án C

Theo phương pháp tích phân từng phần, ta có: $A = \int_{0}^{π} f (x) \cos x d x = f (x) \sin x |_{0}^{π} - \int_{0}^{π} f^{'} (x) \sin x d x = - \int_{0}^{π} f^{'} (x) \sin x d x$

Suy ra $\int_{0}^{π} f^{'} (x) \sin x d x = - A$

Ta lại có: $\int_{0}^{π} \sin^{2} x d x = \int_{0}^{π} \frac{1 - \cos 2 x}{2} d x = (\frac{x}{2} - \frac{\sin 2 x}{4}) |_{0}^{π} = \frac{π}{2}$

Mặt khác, $\int_{0}^{π} {(f^{'} (x))}^{2} d x = \frac{2 A^{2}}{π}$ . Gọi X là số thực thỏa mãn

$\frac{2 A^{2}}{π} + 2 (- A) X + X^{2} \frac{π}{2} = 0 \Leftrightarrow {(\sqrt{\frac{2}{π}} A - X \sqrt{\frac{π}{2}})}^{2} = 0 \Rightarrow X = \frac{2 A}{π}$

Từ đó ta có:

$\int_{0}^{π} {(f^{'} (x))}^{2} d x + 2 \frac{2 A}{π} \int_{0}^{π} f^{'} (x) \sin x d x + \frac{4 A^{2}}{π^{2}} \int_{0}^{π} \sin^{2} x d x = 0$ hay $\int_{0}^{π} {(f^{'} (x) + \frac{2 A}{π} \sin x)}^{2} d x = 0$

Do $f^{'} (x)$ , sinx liên tục nên ${(f^{'} (x) + \frac{2 A}{π} \sin x)}^{2}$ không âm, liên tục và $\int_{0}^{π} {(f^{'} (x) + \frac{2 A}{π} \sin x)}^{2} d x = 0$ do đó $f^{'} (x) + \frac{2 A}{π} \sin x = 0$ trên $[0, π]$

Hay $f^{'} (x) = - \frac{2 A}{π} \sin x$ trên $[0, π]$

Lấy nguyên hàm hai vế trên $[0, π]$ , ta có: $f (x) = \frac{2 A}{π} \cos x + C$ với $\forall x \in [0, π]$

Theo giả thiết $f (\frac{π}{2}) = 0$ nên $C = 0$ . Vậy $f (x) = \frac{2 A}{π} \cos x$ với $\forall x \in [0, π]$

Khi đó $\int_{0}^{\frac{π}{4}} f (2 x) d x = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{2 A}{π} \cos 2 x d x = \frac{A}{π} \sin 2 x |_{0}^{\frac{π}{4}} = \frac{A}{π}$ .

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau?

A. $7^{4}$

B. $P_{7}$

C. $C_{7}^{4}$

D. $A_{7}^{4}$

Xem đáp án » 22/04/2022 32,199

Câu 2:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng $(P)$ đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng $(α_{1}) : y + 2 z - 4 = 0$ , $(α_{2}) : x + y - 5 z - 5 = 0$ và vuông góc với mặt phẳng $(α_{3}) : x + y + z - 2 = 0$ . Phương trình của mặt phẳng $(P)$ là

A. $x + 2 y - 3 z - 9 = 0$

B. $3 x + 2 y + 5 z - 5 = 0$

C. $3 x + 2 y + 5 z + 4 = 0$

D. $3 x + 2 y - 5 z + 5 = 0$

Xem đáp án » 22/04/2022 13,331

Câu 3:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Đồ thị của hàm số $y = 2^{x}$ và $y = \log_{2} x$ đối xứng với nhau qua đường thẳng $y = - x$

B. Đồ thị của hai hàm số $y = e^{x}$ và $y = \ln x$ đối xứng với nhau qua đuường thẳng $y = x$

C. Đồ thị của hai hàm số $y = 2^{x}$ và $y = \frac{1}{2^{x}}$ đối xứng với nhau qua trục hoành

D. Đồ thị của hai hàm số $y = \log_{2} x$ và $y = \log_{2} \frac{1}{x}$ đối xứng với nhau qua trục tung

Xem đáp án » 22/04/2022 4,029

Câu 4:

Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P) : x + 2 y + 2 z - 10 = 0$ và $(Q) : x + 2 y + 2 z - 3 = 0$ bằng

A. $\frac{8}{3}$

B. $\frac{7}{3}$

C. 3

D. $\frac{4}{3}$

Xem đáp án » 22/04/2022 3,511

Câu 5:

Đường thẳng $y = x + 1$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ tại hai điểm M, N. Độ dài đoạn thẳng MN bằng

A. $\sqrt{2}$

B. 2

C. $2 \sqrt{2}$

D. 1

Xem đáp án » 22/04/2022 3,322

Câu 6:

Tập nghiệm của bất phương trình ${(\frac{1}{2})}^{x^{2} - 2} > 2^{4 - 3 x}$ là

A. $(- \infty; 1)$

B. $(2; + \infty)$

C. $(1; 2)$

D. $(- \infty; 1) \cup (2; + \infty)$

Xem đáp án » 22/04/2022 1,461

Câu 7:

Cho lăng trụ tam giác đều $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi M là trung điểm của $A A^{'}$ . Gọi góc giữa đường thẳng $M B^{'}$ và mặt phẳng $(B C C^{'} B^{'})$ là $α$ , góc $α$ thỏa mãn đẳng thức nào dưới đây?

A. $\sin α = \frac{\sqrt{6}}{4}$

B. $\sin α = - \frac{\sqrt{6}}{4}$

C. $\cos α = \frac{\sqrt{6}}{4}$

D. $\sin α = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án » 22/04/2022 1,375

Xem thêm các câu hỏi khác »

Nhà sách VIETJACK:

Từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng $(P)$ đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng $(α_{1}) : y + 2 z - 4 = 0$ , $(α_{2}) : x + y - 5 z - 5 = 0$ và vuông góc với mặt phẳng $(α_{3}) : x + y + z - 2 = 0$ . Phương trình của mặt phẳng $(P)$ là

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P) : x + 2 y + 2 z - 10 = 0$ và $(Q) : x + 2 y + 2 z - 3 = 0$ bằng

Đường thẳng $y = x + 1$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ tại hai điểm M, N. Độ dài đoạn thẳng MN bằng

Tập nghiệm của bất phương trình ${(\frac{1}{2})}^{x^{2} - 2} > 2^{4 - 3 x}$ là

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Cho hàm số fx xác định và có đạo hàm liên tục trên 0; π thỏa mãn ∫0πfxcosxdx=A , fπ2=0 và ∫0πf'x2dx=2A2π , ở đó A là hằng số. Tính ∫0π4f2xdx theo A.

Nhà sách VIETJACK:

Từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng P đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng α1:y+2z−4=0 , α2:x+y−5z−5=0 và vuông góc với mặt phẳng α3:x+y+z−2=0 . Phương trình của mặt phẳng P là

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa hai mặt phẳng P:x+2y+2z−10=0 và Q:x+2y+2z−3=0 bằng

Đường thẳng y=x+1 cắt đồ thị hàm số y=2x−1x−1 tại hai điểm M, N. Độ dài đoạn thẳng MN bằng

Tập nghiệm của bất phương trình 12x2−2>24−3x là

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi M là trung điểm của AA' . Gọi góc giữa đường thẳng MB' và mặt phẳng BCC'B' là α , góc α thỏa mãn đẳng thức nào dưới đây?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng $(P)$ đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng $(α_{1}) : y + 2 z - 4 = 0$ , $(α_{2}) : x + y - 5 z - 5 = 0$ và vuông góc với mặt phẳng $(α_{3}) : x + y + z - 2 = 0$ . Phương trình của mặt phẳng $(P)$ là

Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P) : x + 2 y + 2 z - 10 = 0$ và $(Q) : x + 2 y + 2 z - 3 = 0$ bằng

Đường thẳng $y = x + 1$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ tại hai điểm M, N. Độ dài đoạn thẳng MN bằng

Tập nghiệm của bất phương trình ${(\frac{1}{2})}^{x^{2} - 2} > 2^{4 - 3 x}$ là