Câu hỏi:

22/04/2022 556

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, thể tích là V. Gọi M là trung điểm của cạnh SA, N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN=2NB; mặt phẳng $(α)$ di động qua các điểm M, N và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại hai điểm phân biệt K, Q. Tính giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.MNKQ.

A. $\frac{V}{2}$

B. $\frac{V}{3}$

Đáp án chính xác

C. $\frac{3 V}{4}$

D. $\frac{2 V}{3}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (20 đề) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án B

Gọi $a = \frac{S K}{S C} (0 \leq a \leq 1)$

Vì mặt phẳng $(α)$ di động đi qua các điểm M, N và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại hai điểm phân biệt K, Q nên ta có đẳng thức.

$\frac{S A}{S M} + \frac{S C}{S K} = \frac{S B}{S N} + \frac{S D}{S Q} \Rightarrow 2 + \frac{1}{a} = \frac{3}{2} + \frac{S D}{S Q} \Leftrightarrow \frac{S Q}{S D} = \frac{2 a}{2 + a}$

Ta có $\frac{V_{S . M N K Q}}{V_{S . A B C D}} = \frac{1}{2} (\frac{S M}{S A} . \frac{S N}{S B} . \frac{S K}{S C} + \frac{S M}{S A} . \frac{S K}{S C} . \frac{S Q}{S D}) = \frac{1}{2} (\frac{4 a}{3} - \frac{2}{a + 2}) = \frac{2 a}{3} - \frac{1}{a + 2}$

Xét hàm $f (a) = \frac{2 a}{3} - \frac{1}{a + 2}$ trên đoạn $[0; 1]$ , ta được $\max_{[0; 1]} f (a) = f (1) = \frac{1}{3}$

Ta chứng minh $\frac{S A}{S M} + \frac{S C}{S P} = \frac{S B}{S N} + \frac{S D}{S Q}$

Ta có $V_{S . A B C D} = V_{S P N Q} + V_{S Q M P}$ (*). Ta đặt $V = V_{S . A B C D} \Rightarrow V_{S A B C} = V_{S A B D} = V_{S B C D} = \frac{V}{2}$

$\frac{V_{S M N Q}}{V_{S A B D}} = \frac{2 V_{S M N Q}}{V} = \frac{S M}{S A} . \frac{S N}{S B} . \frac{S Q}{S D} \Rightarrow V_{S N M Q} = \frac{S M}{S A} . \frac{S N}{S B} . \frac{S Q}{S D} . \frac{V}{2}$

Tương tự $V_{S P N Q} = \frac{S P}{S C} . \frac{S N}{S B} . \frac{S Q}{S D} . \frac{V}{2}; V_{S M N P} = \frac{S P}{S C} . \frac{S N}{S B} . \frac{S M}{S A} . \frac{V}{2}; V_{S P Q M} = \frac{S P}{S C} . \frac{S M}{S A} . \frac{S Q}{S D} . \frac{V}{2}$

Từ (*) ta được: $\frac{S M}{S A} . \frac{S N}{S B} . \frac{S Q}{S D} + \frac{S P}{S C} . \frac{S N}{S B} . \frac{S Q}{S D} = \frac{S P}{S C} . \frac{S N}{S B} . \frac{S M}{S A} + \frac{S P}{S C} . \frac{S M}{S A} . \frac{S Q}{S D}$

Chia cả 2 vế cho

\frac{S P}{S C} . \frac{S M}{S A} . \frac{S N}{S B} . \frac{S Q}{S D}

ta được

\frac{S A}{S M} + \frac{S C}{S P} = \frac{S B}{S N} + \frac{S D}{S Q}

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, thể tích là V (ảnh 1)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau?

A. $7^{4}$

B. $P_{7}$

C. $C_{7}^{4}$

D. $A_{7}^{4}$

Xem đáp án » 22/04/2022 31,062

Câu 2:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng $(P)$ đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng $(α_{1}) : y + 2 z - 4 = 0$ , $(α_{2}) : x + y - 5 z - 5 = 0$ và vuông góc với mặt phẳng $(α_{3}) : x + y + z - 2 = 0$ . Phương trình của mặt phẳng $(P)$ là

A. $x + 2 y - 3 z - 9 = 0$

B. $3 x + 2 y + 5 z - 5 = 0$

C. $3 x + 2 y + 5 z + 4 = 0$

D. $3 x + 2 y - 5 z + 5 = 0$

Xem đáp án » 22/04/2022 6,207

Câu 3:

Đường thẳng $y = x + 1$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ tại hai điểm M, N. Độ dài đoạn thẳng MN bằng

A. $\sqrt{2}$

B. 2

C. $2 \sqrt{2}$

D. 1

Xem đáp án » 22/04/2022 3,202

Câu 4:

Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P) : x + 2 y + 2 z - 10 = 0$ và $(Q) : x + 2 y + 2 z - 3 = 0$ bằng

A. $\frac{8}{3}$

B. $\frac{7}{3}$

C. 3

D. $\frac{4}{3}$

Xem đáp án » 22/04/2022 2,225

Câu 5:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Đồ thị của hàm số $y = 2^{x}$ và $y = \log_{2} x$ đối xứng với nhau qua đường thẳng $y = - x$

B. Đồ thị của hai hàm số $y = e^{x}$ và $y = \ln x$ đối xứng với nhau qua đuường thẳng $y = x$

C. Đồ thị của hai hàm số $y = 2^{x}$ và $y = \frac{1}{2^{x}}$ đối xứng với nhau qua trục hoành

D. Đồ thị của hai hàm số $y = \log_{2} x$ và $y = \log_{2} \frac{1}{x}$ đối xứng với nhau qua trục tung

Xem đáp án » 22/04/2022 1,921

Câu 6:

Cho lăng trụ tam giác đều $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi M là trung điểm của $A A^{'}$ . Gọi góc giữa đường thẳng $M B^{'}$ và mặt phẳng $(B C C^{'} B^{'})$ là $α$ , góc $α$ thỏa mãn đẳng thức nào dưới đây?

A. $\sin α = \frac{\sqrt{6}}{4}$

B. $\sin α = - \frac{\sqrt{6}}{4}$

C. $\cos α = \frac{\sqrt{6}}{4}$

D. $\sin α = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án » 22/04/2022 1,271

Câu 7:

Tập nghiệm của bất phương trình ${(\frac{1}{2})}^{x^{2} - 2} > 2^{4 - 3 x}$ là

A. $(- \infty; 1)$

B. $(2; + \infty)$

C. $(1; 2)$

D. $(- \infty; 1) \cup (2; + \infty)$

Xem đáp án » 22/04/2022 1,253

Xem thêm các câu hỏi khác »

Nhà sách VIETJACK:

Từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng $(P)$ đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng $(α_{1}) : y + 2 z - 4 = 0$ , $(α_{2}) : x + y - 5 z - 5 = 0$ và vuông góc với mặt phẳng $(α_{3}) : x + y + z - 2 = 0$ . Phương trình của mặt phẳng $(P)$ là

Đường thẳng $y = x + 1$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ tại hai điểm M, N. Độ dài đoạn thẳng MN bằng

Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P) : x + 2 y + 2 z - 10 = 0$ và $(Q) : x + 2 y + 2 z - 3 = 0$ bằng

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Tập nghiệm của bất phương trình ${(\frac{1}{2})}^{x^{2} - 2} > 2^{4 - 3 x}$ là

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Nhà sách VIETJACK:

Từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng P đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng α1:y+2z−4=0 , α2:x+y−5z−5=0 và vuông góc với mặt phẳng α3:x+y+z−2=0 . Phương trình của mặt phẳng P là

Đường thẳng y=x+1 cắt đồ thị hàm số y=2x−1x−1 tại hai điểm M, N. Độ dài đoạn thẳng MN bằng

Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa hai mặt phẳng P:x+2y+2z−10=0 và Q:x+2y+2z−3=0 bằng

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi M là trung điểm của AA' . Gọi góc giữa đường thẳng MB' và mặt phẳng BCC'B' là α , góc α thỏa mãn đẳng thức nào dưới đây?

Tập nghiệm của bất phương trình 12x2−2>24−3x là

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng $(P)$ đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng $(α_{1}) : y + 2 z - 4 = 0$ , $(α_{2}) : x + y - 5 z - 5 = 0$ và vuông góc với mặt phẳng $(α_{3}) : x + y + z - 2 = 0$ . Phương trình của mặt phẳng $(P)$ là

Đường thẳng $y = x + 1$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ tại hai điểm M, N. Độ dài đoạn thẳng MN bằng

Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P) : x + 2 y + 2 z - 10 = 0$ và $(Q) : x + 2 y + 2 z - 3 = 0$ bằng

Tập nghiệm của bất phương trình ${(\frac{1}{2})}^{x^{2} - 2} > 2^{4 - 3 x}$ là