Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S có phương trình S:x−12+y−22+z−32=4. Xét đường thẳng d:x=1+ty=−mtz=m−1t , m là tham số thực. Giả sử P và P' là hai mặt phẳng chứa d và tiếp xúc với S...

Đáp án A Mặt cầu S có tâm I1; 2; 3 và bán kính R=IT=IT'=2 Ta có TT'=2TH mà 1TH2=1TI2+1TM2=14+1IM2−4 (1) Ta đi tìm min IM. Do M∈d⇒M1+t; −mt; m−1t nên IM2=2m2−2m+2t2+6−2mt+13 ⇔2m2−2m+2t2+6−2mt+13−IM2=0 Ta có: Δ'=3−m2−2m2−2m+213−IM2≥0 ⇔IM2≥13−m−322m2−2m+2=fm Ta có f'm=m−310m−22m2−2m+22=0⇔m=3m=15 Từ đó fm≥f15=253⇒IM2≥253 Từ (1) suy ra TH≥5225⇒TT'=2TH≥4135

Câu hỏi:

22/04/2022 262

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 4$ . Xét đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - m t \\ z = (m - 1) t \end{cases}$ , m là tham số thực.

Giả sử $(P)$ và $(P^{'})$ là hai mặt phẳng chứa d và tiếp xúc với $(S)$ lần lượt tại $T$ và $T^{'}$ . Khi m thay đổi, giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $T T^{'}$ là

A. $\frac{4 \sqrt{13}}{5}$

B. $2 \sqrt{2}$

C. 2

D. $\frac{2 \sqrt{11}}{3}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (20 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án A

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I (1; 2; 3)$ và bán kính $R = I T = I T^{'} = 2$

Ta có $T T^{'} = 2 T H$ mà $\frac{1}{T H^{2}} = \frac{1}{T I^{2}} + \frac{1}{T M^{2}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{I M^{2} - 4}$ (1)

Ta đi tìm min IM.

Do $M \in d \Rightarrow M (1 + t; - m t; (m - 1) t)$ nên $I M^{2} = (2 m^{2} - 2 m + 2) t^{2} + (6 - 2 m) t + 13$

$\Leftrightarrow (2 m^{2} - 2 m + 2) t^{2} + (6 - 2 m) t + 13 - I M^{2} = 0$

Ta có: $Δ^{'} = {(3 - m)}^{2} - (2 m^{2} - 2 m + 2) (13 - I M^{2}) \geq 0$

$\Leftrightarrow I M^{2} \geq 13 - \frac{{(m - 3)}^{2}}{2 m^{2} - 2 m + 2} = f (m)$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình (ảnh 2)

Ta có $f^{'} (m) = \frac{(m - 3) (10 m - 2)}{{(2 m^{2} - 2 m + 2)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 3 \\ m = \frac{1}{5} \end{array}$

Từ đó $f (m) \geq f (\frac{1}{5}) = \frac{25}{3} \Rightarrow I M^{2} \geq \frac{25}{3}$

Từ (1) suy ra $T H \geq \sqrt{\frac{52}{25}} \Rightarrow T T^{'} = 2 T H \geq \frac{4 \sqrt{13}}{5}$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau?

A. $7^{4}$

B. $P_{7}$

C. $C_{7}^{4}$

D. $A_{7}^{4}$

Lời giải

Đáp án D

Số các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được lập từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 là $A_{7}^{4}$ số.

Câu 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng $(P)$ đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng $(α_{1}) : y + 2 z - 4 = 0$ , $(α_{2}) : x + y - 5 z - 5 = 0$ và vuông góc với mặt phẳng $(α_{3}) : x + y + z - 2 = 0$ . Phương trình của mặt phẳng $(P)$ là

A. $x + 2 y - 3 z - 9 = 0$

B. $3 x + 2 y + 5 z - 5 = 0$

C. $3 x + 2 y + 5 z + 4 = 0$

D. $3 x + 2 y - 5 z + 5 = 0$

Lời giải

Đáp án A

$(α_{1})$ có VTPT $\vec{n_{1}} = (0; 1; 2)$ , $(α_{2})$ có VTPT $\vec{n_{2}} = (1; 1; - 5)$ , $(α_{3})$ có VTPT $\vec{n_{3}} = (1; 1; 1)$ .

Chọn $M (1; 4; 0)$ thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng $(α_{1})$ , $(α_{2})$

Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng $(α_{1})$ và $(α_{2})$ khi đó d đi qua điểm $M (1; 4; 0)$ và có VTCP $\vec{u_{1}} = [\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}] = (- 7; 2; - 1)$

$(P)$ đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng $(α_{1})$ , $(α_{2})$ và vuông góc với $(α_{3})$

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M (1; 4; 0)$ và nhận $\vec{n} = [\vec{u_{1}}, \vec{n_{3}}] = (3; 6; - 9)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình $(P) : 3 (x - 1) + 6 (y - 4) - 9 (z - 0) = 0 \Leftrightarrow x + 2 y - 3 z - 9 = 0$

Câu 3

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Đồ thị của hàm số $y = 2^{x}$ và $y = \log_{2} x$ đối xứng với nhau qua đường thẳng $y = - x$

B. Đồ thị của hai hàm số $y = e^{x}$ và $y = \ln x$ đối xứng với nhau qua đuường thẳng $y = x$

C. Đồ thị của hai hàm số $y = 2^{x}$ và $y = \frac{1}{2^{x}}$ đối xứng với nhau qua trục hoành

D. Đồ thị của hai hàm số $y = \log_{2} x$ và $y = \log_{2} \frac{1}{x}$ đối xứng với nhau qua trục tung

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P) : x + 2 y + 2 z - 10 = 0$ và $(Q) : x + 2 y + 2 z - 3 = 0$ bằng

A. $\frac{8}{3}$

B. $\frac{7}{3}$

C. 3

D. $\frac{4}{3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Đường thẳng $y = x + 1$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ tại hai điểm M, N. Độ dài đoạn thẳng MN bằng

A. $\sqrt{2}$

B. 2

C. $2 \sqrt{2}$

D. 1

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Tập nghiệm của bất phương trình ${(\frac{1}{2})}^{x^{2} - 2} > 2^{4 - 3 x}$ là

A. $(- \infty; 1)$

B. $(2; + \infty)$

C. $(1; 2)$

D. $(- \infty; 1) \cup (2; + \infty)$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho lăng trụ tam giác đều $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi M là trung điểm của $A A^{'}$ . Gọi góc giữa đường thẳng $M B^{'}$ và mặt phẳng $(B C C^{'} B^{'})$ là $α$ , góc $α$ thỏa mãn đẳng thức nào dưới đây?

A. $\sin α = \frac{\sqrt{6}}{4}$

B. $\sin α = - \frac{\sqrt{6}}{4}$

C. $\cos α = \frac{\sqrt{6}}{4}$

D. $\sin α = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng P đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng α1:y+2z−4=0 , α2:x+y−5z−5=0 và vuông góc với mặt phẳng α3:x+y+z−2=0 . Phương trình của mặt phẳng P là

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa hai mặt phẳng P:x+2y+2z−10=0 và Q:x+2y+2z−3=0 bằng

Đường thẳng y=x+1 cắt đồ thị hàm số y=2x−1x−1 tại hai điểm M, N. Độ dài đoạn thẳng MN bằng

Tập nghiệm của bất phương trình 12x2−2>24−3x là

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi M là trung điểm của AA' . Gọi góc giữa đường thẳng MB' và mặt phẳng BCC'B' là α , góc α thỏa mãn đẳng thức nào dưới đây?

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng $(P)$ đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng $(α_{1}) : y + 2 z - 4 = 0$ , $(α_{2}) : x + y - 5 z - 5 = 0$ và vuông góc với mặt phẳng $(α_{3}) : x + y + z - 2 = 0$ . Phương trình của mặt phẳng $(P)$ là

Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P) : x + 2 y + 2 z - 10 = 0$ và $(Q) : x + 2 y + 2 z - 3 = 0$ bằng

Đường thẳng $y = x + 1$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ tại hai điểm M, N. Độ dài đoạn thẳng MN bằng

Tập nghiệm của bất phương trình ${(\frac{1}{2})}^{x^{2} - 2} > 2^{4 - 3 x}$ là