Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ vuông góc với $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{3}$ và $\left(\alpha \right)$ cắt trục Ox, trục Oy và tia Oz lần lượt tại M, N, P. Biết rằng thể tích khối tứ diện OMNP bằng 6. Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua điểm nào sau đây? 

Phương pháp:

- Vì $\left(\alpha \right)\perp \Delta \Rightarrow \left(\alpha \right)$ có 1 VTPT là $\overrightarrow{n_{\alpha }}=\overrightarrow{u_{\Delta }}=\left(A;B;C\right).$ Suy ra dạng phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right):Ax+By+Cz+d=0.$

- Tìm giao điểm của $\Delta$ với trục Ox, trục Oy và tia Oz

- Tính độ dài OM, ON, OP theo d

- Tính  $V_{OMNP}=\frac{1}{6}OM.ON.OP,$ giải phương trình tìm de

- Suy ra phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ và tìm điểm thuộc $\left(\alpha \right)$.

Cách giải:

Đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{3}$ có 1 VTCP là $\overrightarrow{u_{\Delta }}=\left(1;-2;3\right).$

Vì $\left(\alpha \right)\perp \Delta \Rightarrow \left(\alpha \right)$ có 1 VTPT là $\overrightarrow{n_{\alpha }}=\overrightarrow{u_{\Delta }}=\left(1;-2;3\right)$, khi đó phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có dạng:

                                         $\left(\alpha \right):x-2y+3z+d=0$.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}M=\Delta \cap Ox\\ N=\Delta \cap Oy\\ P=\Delta \cap tiaOz\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}M\left(-d;0;0\right)\\ N\left(0;\frac{d}{2};0\right)\\ P\left(0;0;-\frac{d}{3}\right)\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}OM=\left|d\right|\\ ON=\frac{\left|d\right|}{2}\\ OP=\frac{\left|d\right|}{3}\\ -\frac{d}{3}>0\iff d<0\end{array}\right.$

Vì OMNP là tứ diện vuông tại O nên

$V_{OMNP}=\frac{1}{6}OM.ON.OP=\frac{1}{6}.\frac{1}{6}{\left|d\right|}^3=\frac{1}{36}.{\left|d\right|}^3=6\iff {\left|d\right|}^3=216\iff \left|d\right|=6\iff d=\pm 6.$

Mà $d<0\Rightarrow d=-6\Rightarrow \left(\alpha \right):x-2y+3z-6=0.$

Vậy $\left(\alpha \right)$ đi qua điểm B(1; -1; 1).

Chọn A.